Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1084. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} = \mathrm{х} - 1 ,\\ 5\mathrm{x} + 2\mathrm{y} = 16;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} = 2- \mathrm{y},\\ 3\mathrm{x} - 2\mathrm{y} - 11 = 0.\end{array}\right.$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x - 1, \\ 5x + 2y = 16 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки, так как в первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$5x + 2(x - 1) = 16$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$5x + 2x - 2 = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$7x - 2 = 16$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$7x = 16 + 2$
$7x = 18$
Найдем $x$:
$x = \frac{18}{7}$
Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в первое уравнение системы ($y = x - 1$):
$y = \frac{18}{7} - 1 = \frac{18}{7} - \frac{7}{7} = \frac{18 - 7}{7} = \frac{11}{7}$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$.
Ответ: $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x = 2 - y, \\ 3x - 2y - 11 = 0 \end{cases} $$ Эта система также решается методом подстановки. В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(2 - y) - 2y - 11 = 0$
Решим полученное уравнение относительно $y$. Раскроем скобки:
$6 - 3y - 2y - 11 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-5y - 5 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$-5y = 5$
Найдем $y$:
$y = \frac{5}{-5} = -1$
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y = -1$ в первое уравнение системы ($x = 2 - y$):
$x = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$
Следовательно, решением системы является пара чисел $(3; -1)$.
Ответ: $(3; -1)$.

1085. Решите систему уравнений:

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y - 2x = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases} $
Для решения системы удобно использовать метод сложения. Для этого изменим порядок слагаемых в первом уравнении: $ \begin{cases} -2x + y = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases} $
Теперь сложим два уравнения почленно. Переменная $y$ при этом сократится:
$(-2x + y) + (6x - y) = 1 + 7$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4} = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$y - 2 \cdot 2 = 1$
$y - 4 = 1$
$y = 1 + 4 = 5$
Решением системы является пара чисел $(2, 5)$.
Ответ: $(2, 5)$

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ x - 2y = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 5 + 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$7(5 + 2y) - 3y = 13$
$35 + 14y - 3y = 13$
$11y = 13 - 35$
$11y = -22$
$y = \frac{-22}{11} = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y = -2$ в выражение для $x$:
$x = 5 + 2(-2)$
$x = 5 - 4 = 1$
Решением системы является пара чисел $(1, -2)$.
Ответ: $(1, -2)$

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 6 \\ 3x - 5y = 2 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 6 - x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x - 5(6 - x) = 2$
$3x - 30 + 5x = 2$
$8x = 2 + 30$
$8x = 32$
$x = \frac{32}{8} = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в выражение для $y$:
$y = 6 - 4 = 2$
Решением системы является пара чисел $(4, 2)$.
Ответ: $(4, 2)$

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 4x - 11$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$6x - 2(4x - 11) = 13$
$6x - 8x + 22 = 13$
$-2x = 13 - 22$
$-2x = -9$
$x = \frac{-9}{-2} = 4.5$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4.5$ в выражение для $y$:
$y = 4(4.5) - 11$
$y = 18 - 11 = 7$
Решением системы является пара чисел $(4.5, 7)$.
Ответ: $(4.5, 7)$

д) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x = 20 \\ 2x - 15y = -1 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 20 + x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x - 15(20 + x) = -1$
$2x - 300 - 15x = -1$
$-13x = 300 - 1$
$-13x = 299$
$x = \frac{299}{-13} = -23$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=-23$ в выражение для $y$:
$y = 20 + (-23) = -3$
Решением системы является пара чисел $(-23, -3)$.
Ответ: $(-23, -3)$

е) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 25 - x = -4y \\ 3x - 2y = 30 \end{cases} $
Приведем первое уравнение к более удобному для подстановки виду, выразив $x$:
$25 + 4y = x$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$3(25 + 4y) - 2y = 30$
$75 + 12y - 2y = 30$
$10y = 30 - 75$
$10y = -45$
$y = \frac{-45}{10} = -4.5$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=-4.5$ в выражение для $x$:
$x = 25 + 4(-4.5)$
$x = 25 - 18 = 7$
Решением системы является пара чисел $(7, -4.5)$.
Ответ: $(7, -4.5)$

1086. Найдите решение системы уравнений:

а) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 12, \\ 7x - 2y = 31; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 12 - 2x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$7x - 2(12 - 2x) = 31$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$7x - 24 + 4x = 31$
$11x = 31 + 24$
$11x = 55$
$x = \frac{55}{11}$
$x = 5$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 12 - 2x$:
$y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.
Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

б) Решим систему уравнений: $\begin{cases} y - 2x = 4, \\ 7x - y = 1; \end{cases}$.
Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения. Для наглядности перепишем первое уравнение в виде $-2x + y = 4$. Теперь сложим два уравнения системы почленно:
$(-2x + y) + (7x - y) = 4 + 1$
$(-2x + 7x) + (y - y) = 5$
$5x = 5$
$x = 1$.
Подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$y - 2(1) = 4$
$y - 2 = 4$
$y = 6$.
Решением системы является пара чисел $(1; 6)$.
Ответ: $(1; 6)$.

в) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8y - x = 4, \\ 2x - 21y = 2; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$-x = 4 - 8y$
$x = 8y - 4$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(8y - 4) - 21y = 2$.
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$16y - 8 - 21y = 2$
$-5y = 2 + 8$
$-5y = 10$
$y = -2$.
Теперь найдем $x$, подставив $y = -2$ в выражение $x = 8y - 4$:
$x = 8(-2) - 4 = -16 - 4 = -20$.
Решением системы является пара чисел $(-20; -2)$.
Ответ: $(-20; -2)$.

г) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x = y + 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Приведем первое уравнение к стандартному виду, перенеся $y$ в левую часть:
$2x - y = 0.5$.
Теперь система имеет вид: $\begin{cases} 2x - y = 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Решим систему методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на $-5$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$-5(2x - y) = -5(0.5)$
$-10x + 5y = -2.5$.
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-10x + 5y) + (3x - 5y) = -2.5 + 12$
$-7x = 9.5$
$x = -\frac{9.5}{7} = -\frac{19/2}{7} = -\frac{19}{14}$.
Для нахождения $y$ подставим значение $x$ в выражение $y = 2x - 0.5$ (из первого уравнения):
$y = 2(-\frac{19}{14}) - 0.5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$y = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14}$.
Решением системы является пара чисел $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.
Ответ: $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.

1087. Решите систему уравнений:

а) Дана система уравнений: первое уравнение $2u + 5v = 0$ и второе уравнение $-8u + 15v = 7$.
Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами: $4 \cdot (2u + 5v) = 4 \cdot 0$, что равносильно $8u + 20v = 0$.
Теперь сложим почленно полученное уравнение со вторым уравнением системы: $(8u + 20v) + (-8u + 15v) = 0 + 7$.
Приведя подобные слагаемые, получаем $35v = 7$.
Отсюда находим $v$: $v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$.
Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы: $2u + 5 \cdot (\frac{1}{5}) = 0$.
$2u + 1 = 0$.
$2u = -1$.
$u = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $u = -1/2, v = 1/5$.

б) Дана система уравнений: первое уравнение $5p - 3q = 0$ и второе уравнение $3p + 4q = 29$.
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными числами: $4 \cdot (5p - 3q) = 4 \cdot 0 \implies 20p - 12q = 0$.
$3 \cdot (3p + 4q) = 3 \cdot 29 \implies 9p + 12q = 87$.
Сложим полученные уравнения: $(20p - 12q) + (9p + 12q) = 0 + 87$.
$29p = 87$.
Находим $p$: $p = \frac{87}{29} = 3$.
Подставим значение $p=3$ в первое уравнение исходной системы: $5 \cdot 3 - 3q = 0$.
$15 - 3q = 0$.
$15 = 3q$.
Находим $q$: $q = \frac{15}{3} = 5$.
Ответ: $p = 3, q = 5$.

в) Дана система уравнений: первое уравнение $4u + 3v = 14$ и второе уравнение $5u - 3v = 25$.
Коэффициенты при переменной $v$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому можно сразу сложить уравнения.
$(4u + 3v) + (5u - 3v) = 14 + 25$.
$9u = 39$.
Находим $u$: $u = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$.
Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы: $4 \cdot (\frac{13}{3}) + 3v = 14$.
$\frac{52}{3} + 3v = 14$.
$3v = 14 - \frac{52}{3}$.
$3v = \frac{42}{3} - \frac{52}{3}$.
$3v = -\frac{10}{3}$.
Находим $v$: $v = -\frac{10}{9}$.
Ответ: $u = 13/3, v = -10/9$.

г) Дана система уравнений: первое уравнение $10p + 7q = -2$ и второе уравнение $2p - 22 = 5q$.
Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся слагаемые с переменными в левую часть, а свободный член - в правую: $2p - 5q = 22$.
Теперь решаем систему из уравнений $10p + 7q = -2$ и $2p - 5q = 22$.
Умножим второе уравнение на -5, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными: $-5 \cdot (2p - 5q) = -5 \cdot 22 \implies -10p + 25q = -110$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $(10p + 7q) + (-10p + 25q) = -2 + (-110)$.
$32q = -112$.
Находим $q$: $q = -\frac{112}{32} = -\frac{7 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{7}{2}$.
Подставим найденное значение $q$ в уравнение $2p - 5q = 22$: $2p - 5 \cdot (-\frac{7}{2}) = 22$.
$2p + \frac{35}{2} = 22$.
$2p = 22 - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{44}{2} - \frac{35}{2}$.
$2p = \frac{9}{2}$.
Находим $p$: $p = \frac{9}{4}$.
Ответ: $p = 9/4, q = -7/2$.