Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1080. Укажите какие−нибудь три решения системы уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 5,\\ 3\mathrm{x} - 9\mathrm{y} =15;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}1,5\mathrm{y} + \mathrm{x}=-0,5,\\ 2\mathrm{x} + 3\mathrm{y} =-1.\end{array}\right.$

а)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases} $$ Заметим, что если разделить второе уравнение на 3, мы получим:
$(3x - 9y) : 3 = 15 : 3$
$x - 3y = 5$
Это уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечное множество решений.
Чтобы найти какие-нибудь три решения, выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 5 + 3y$
Теперь мы можем выбрать любое значение для $y$ и найти соответствующее значение $x$.
1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 0 = 5$. Получаем решение $(5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 1 = 8$. Получаем решение $(8; 1)$.
3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot (-1) = 5 - 3 = 2$. Получаем решение $(2; -1)$.

Ответ: $(5; 0)$, $(8; 1)$, $(2; -1)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 1,5y + x = -0,5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 2:
$2 \cdot (1,5y + x) = 2 \cdot (-0,5)$
$3y + 2x = -1$
Переставив слагаемые, получим $2x + 3y = -1$, что в точности совпадает со вторым уравнением системы.
Следовательно, уравнения зависимы, и система имеет бесконечное множество решений.
Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = -0,5 - 1,5y$
Теперь мы можем выбрать любое значение для $y$ и найти соответствующее значение $x$.
1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot 0 = -0,5$. Получаем решение $(-0,5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot 1 = -0,5 - 1,5 = -2$. Получаем решение $(-2; 1)$.
3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot (-1) = -0,5 + 1,5 = 1$. Получаем решение $(1; -1)$.

Ответ: $(-0,5; 0)$, $(-2; 1)$, $(1; -1)$.

1081. Решите уравнение:
а) 2х − 34 − 3х = х + 12; б) 6 = 3х − 12 − х5.

а) Дано уравнение: $\frac{2x-3}{4} - 3x = \frac{x+1}{2}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4:
$4 \cdot \left(\frac{2x-3}{4} - 3x\right) = 4 \cdot \frac{x+1}{2}$
$4 \cdot \frac{2x-3}{4} - 4 \cdot 3x = 2(x+1)$
$2x-3 - 12x = 2x+2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-10x - 3 = 2x+2$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть уравнения:
$-10x - 2x = 2 + 3$
$-12x = 5$
Разделим обе части на -12, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{5}{12}$
Ответ: $x = -\frac{5}{12}$.

б) Дано уравнение: $6 = \frac{3x-1}{3} - \frac{x}{5}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15:
$15 \cdot 6 = 15 \cdot \left(\frac{3x-1}{3} - \frac{x}{5}\right)$
$90 = 15 \cdot \frac{3x-1}{3} - 15 \cdot \frac{x}{5}$
$90 = 5(3x-1) - 3x$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$90 = 15x - 5 - 3x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$90 = 12x - 5$
Перенесем постоянные слагаемые в левую часть:
$90 + 5 = 12x$
$95 = 12x$
Разделим обе части на 12, чтобы найти $x$:
$x = \frac{95}{12}$
Данную неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа: $x = 7\frac{11}{12}$.
Ответ: $x = \frac{95}{12}$.

1082. Представьте в виде многочлена:
а) (5с² − с + 8)(2с − 3) − 16;
б) 18m³ − (3m − 4)(6m² + m − 2).

а) $(5c^2 - c + 8)(2c - 3) - 16$

Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо последовательно выполнить действия: сначала умножение многочленов, а затем вычитание.

1. Умножим многочлен $(5c^2 - c + 8)$ на многочлен $(2c - 3)$. Для этого каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго:

$(5c^2 - c + 8) \cdot (2c - 3) = 5c^2 \cdot 2c + 5c^2 \cdot (-3) - c \cdot 2c - c \cdot (-3) + 8 \cdot 2c + 8 \cdot (-3)$

Выполним умножения:

$10c^3 - 15c^2 - 2c^2 + 3c + 16c - 24$

2. Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$10c^3 + (-15c^2 - 2c^2) + (3c + 16c) - 24 = 10c^3 - 17c^2 + 19c - 24$

3. Теперь подставим полученный многочлен в исходное выражение и вычтем 16:

$(10c^3 - 17c^2 + 19c - 24) - 16 = 10c^3 - 17c^2 + 19c - 24 - 16$

Выполним вычитание свободных членов:

$10c^3 - 17c^2 + 19c - 40$

Ответ: $10c^3 - 17c^2 + 19c - 40$.

б) $18m^3 - (3m - 4)(6m^2 + m - 2)$

В этом выражении сначала необходимо выполнить умножение многочленов, а затем вычесть полученный результат из $18m^3$.

1. Умножим многочлен $(3m - 4)$ на $(6m^2 + m - 2)$:

$(3m - 4)(6m^2 + m - 2) = 3m \cdot 6m^2 + 3m \cdot m + 3m \cdot (-2) - 4 \cdot 6m^2 - 4 \cdot m - 4 \cdot (-2)$

Выполним умножения:

$18m^3 + 3m^2 - 6m - 24m^2 - 4m + 8$

2. Приведем подобные слагаемые:

$18m^3 + (3m^2 - 24m^2) + (-6m - 4m) + 8 = 18m^3 - 21m^2 - 10m + 8$

3. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение. Важно помнить, что перед скобками стоит знак минус, поэтому при их раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные:

$18m^3 - (18m^3 - 21m^2 - 10m + 8) = 18m^3 - 18m^3 + 21m^2 + 10m - 8$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(18m^3 - 18m^3) + 21m^2 + 10m - 8 = 0 + 21m^2 + 10m - 8 = 21m^2 + 10m - 8$

Ответ: $21m^2 + 10m - 8$.

1083. Разложите на множители:
а) а³ + а² − х²а − x²;
б) b³ + b²с − 9b − 9с.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 + a^2) - (x^2a + x^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель $a^2$, а из второй группы — $x^2$:

$a^2(a + 1) - x^2(a + 1)$

Теперь мы видим, что у обоих полученных слагаемых есть общий множитель — это скобка $(a + 1)$. Вынесем ее за скобки:

$(a + 1)(a^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке, $(a^2 - x^2)$, представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставим полученное разложение обратно в наше выражение. Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a + 1)(a - x)(a + x)$

Ответ: $(a + 1)(a - x)(a + x)$.

б)

Чтобы разложить на множители выражение $b^3 + b^2c - 9b - 9c$, также воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым:

$(b^3 + b^2c) + (-9b - 9c) = (b^3 + b^2c) - (9b + 9c)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^2$, а во второй — общий множитель $9$:

$b^2(b + c) - 9(b + c)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b + c)$:

$(b + c)(b^2 - 9)$

Выражение во второй скобке, $(b^2 - 9)$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Подставив это в наше выражение, получаем окончательное разложение на множители:

$(b + c)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b + c)(b - 3)(b + 3)$.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — это переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, называемые коэффициентами. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю. Математически это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$. Если бы оба коэффициента, $a$ и $b$, были равны нулю, уравнение перестало бы быть уравнением с переменными и превратилось бы в равенство $0 = c$.

В качестве примера можно привести уравнение $3x + 4y = 12$. В этом уравнении:

• $x$ и $y$ — переменные.
• $a = 3$ — коэффициент при переменной $x$.
• $b = 4$ — коэффициент при переменной $y$.
• $c = 12$ — свободный член.

Решением такого уравнения является любая упорядоченная пара чисел $(x, y)$, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство. Например, пара чисел $(4, 0)$ является решением, потому что $3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 12 + 0 = 12$. Другим решением является пара $(0, 3)$, так как $3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12$.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, $a, b, c$ — числа, причем хотя бы один из коэффициентов ($a$ или $b$) не равен нулю. Пример: $5x - 2y = 8$.

Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Решением уравнения с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая при подстановке в уравнение вместо соответствующих переменных обращает его в верное числовое равенство.
Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Является ли пара значений переменных $x = 7$, $y = 3$ решением уравнения $2x + y = 17$?
Для проверки необходимо подставить данные значения переменных $x=7$ и $y=3$ в уравнение $2x + y = 17$.
Выполним подстановку в левую часть уравнения:
$2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$
Сравним полученный результат с правой частью уравнения:
$17 = 17$
Поскольку мы получили верное числовое равенство, пара значений $(7; 3)$ является решением данного уравнения.
Ответ: да, является.

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$. Графиком такого уравнения является множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Условие "$a \neq 0$ или $b \neq 0$" означает, что хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, что исключает вырожденные случаи. Чтобы определить, что является графиком, рассмотрим все возможные варианты.

Случай 1: $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
В этом случае мы можем выразить переменную $y$ через $x$:
$by = -ax + c$
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это уравнение является уравнением прямой в виде $y = kx + m$, где угловой коэффициент $k = -\frac{a}{b}$, а $m = \frac{c}{b}$ – это ордината точки пересечения с осью $Oy$. Графиком такого уравнения является наклонная прямая.

Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$.
Уравнение принимает вид:
$0 \cdot x + by = c$
$by = c$
$y = \frac{c}{b}$
Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют одинаковую ординату $y = \frac{c}{b}$. Эта прямая параллельна оси $Ox$ (или совпадает с ней, если $c=0$).

Случай 3: $a \neq 0$ и $b = 0$.
Уравнение принимает вид:
$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют одинаковую абсциссу $x = \frac{c}{a}$. Эта прямая параллельна оси $Oy$ (или совпадает с ней, если $c=0$).

Таким образом, во всех возможных случаях, удовлетворяющих условию "$a \neq 0$ или $b \neq 0$", графиком линейного уравнения $ax + by = c$ с двумя переменными является прямая линия.
Ответ: прямая.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Решением системы уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которой вместо переменных в каждое из уравнений системы получаются верные числовые равенства.
Рассмотрим для примера систему: $$ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Пара чисел $(3; 2)$ является решением этой системы. Проверим это, подставив $x=3$ и $y=2$ в оба уравнения:
1) $3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$. Равенство $7 = 7$ — верное.
2) $3 - 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ — верное.
Так как пара чисел $(3; 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Если бы хотя бы одно из равенств оказалось неверным, пара не была бы решением.
Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Что значит решить систему уравнений?
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.
При решении системы возможны три случая:
1. Система имеет единственное решение (например, $x=3$, $y=2$ в примере выше). В графической интерпретации это означает, что графики уравнений пересекаются в одной точке.
2. Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда, по сути, оба уравнения являются эквивалентными (например, одно получается из другого умножением на число). Графики таких уравнений совпадают.
3. Система не имеет решений (несовместна). Это происходит, когда уравнения противоречат друг другу. В графической интерпретации для линейных систем это означает, что графики уравнений (прямые) параллельны и не пересекаются.
Таким образом, результатом решения является либо конкретный набор пар чисел, либо указание на их бесконечное множество, либо вывод об отсутствии решений.
Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными описывает взаимное расположение двух прямых на координатной плоскости. В зависимости от этого расположения, количество решений системы может быть разным. Существует три возможных варианта.

Рассмотрим систему в общем виде:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

1. Одно решение

Этот случай имеет место, когда графики уравнений (две прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки $(x, y)$ и являются уникальным решением системы. Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых различны, что выражается через непропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие для наличия единственного решения: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases} $ коэффициенты не пропорциональны ($\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}$), поэтому система имеет одно решение $(3, -1)$.

Ответ: система может иметь одно решение.

2. Нет решений

Этот случай возникает, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Поскольку параллельные прямые на плоскости никогда не пересекаются, у них нет общих точек, и, следовательно, система не имеет решений. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но эта пропорция нарушается для свободных членов.

Условие отсутствия решений: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} $ имеем $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, но $\frac{4}{10} \neq \frac{1}{2}$. Прямые параллельны, и система не имеет решений.

Ответ: система может не иметь решений.

3. Бесконечно много решений

Этот случай имеет место, когда оба уравнения системы описывают одну и ту же прямую. То есть их графики совпадают. Каждая точка этой прямой является решением, поэтому система имеет бесконечное множество решений. Алгебраически это означает, что все коэффициенты одного уравнения можно получить из коэффициентов другого путем умножения на одно и то же число (все коэффициенты пропорциональны).

Условие для бесконечного числа решений: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 6x - 2y = 14 \end{cases} $ второе уравнение получается из первого умножением на 2. Имеем $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{7}{14}$. Прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система может иметь бесконечно много решений.