Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1061. Принадлежит ли графику уравнения 3х + 4у = 12 точка:
а) А(4; 1); б) В(1; 3); в) С(−6; −7,5); г) D(0; 3)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику уравнения, необходимо подставить координаты этой точки (x; y) в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство будет неверным, то точка не принадлежит графику.

Исходное уравнение: $3x + 4y = 12$.

а) A(4; 1)

Подставим координаты точки A, где $x = 4$ и $y = 1$, в уравнение:

$3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 12$

$12 + 4 = 12$

$16 = 12$

Полученное равенство неверно, следовательно, точка A не принадлежит графику уравнения.

Ответ: не принадлежит.

б) B(1; 3)

Подставим координаты точки B, где $x = 1$ и $y = 3$, в уравнение:

$3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 12$

$3 + 12 = 12$

$15 = 12$

Полученное равенство неверно, следовательно, точка B не принадлежит графику уравнения.

Ответ: не принадлежит.

в) C(-6; -7,5)

Подставим координаты точки C, где $x = -6$ и $y = -7,5$, в уравнение:

$3 \cdot (-6) + 4 \cdot (-7,5) = 12$

$-18 - 30 = 12$

$-48 = 12$

Полученное равенство неверно, следовательно, точка C не принадлежит графику уравнения.

Ответ: не принадлежит.

г) D(0; 3)

Подставим координаты точки D, где $x = 0$ и $y = 3$, в уравнение:

$3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 12$

$0 + 12 = 12$

$12 = 12$

Полученное равенство верно, следовательно, точка D принадлежит графику уравнения.

Ответ: принадлежит.

1062. Какие из точек А(6; 1), В(−6; −5), С(0; −2), D(−1; 3) принадлежат графику уравнения х − 2у = 4?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику уравнения, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит. Данное уравнение: $x - 2y = 4$.

A(6; 1)
Подставим координаты точки A, где $x=6$ и $y=1$, в уравнение:
$6 - 2 \cdot 1 = 4$
$6 - 2 = 4$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, точка A принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

B(-6; -5)
Подставим координаты точки B, где $x=-6$ и $y=-5$, в уравнение:
$-6 - 2 \cdot (-5) = 4$
$-6 + 10 = 4$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, точка B принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

C(0; -2)
Подставим координаты точки C, где $x=0$ и $y=-2$, в уравнение:
$0 - 2 \cdot (-2) = 4$
$0 + 4 = 4$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

D(-1; 3)
Подставим координаты точки D, где $x=-1$ и $y=3$, в уравнение:
$-1 - 2 \cdot 3 = 4$
$-1 - 6 = 4$
$-7 = 4$
Равенство неверное, следовательно, точка D не принадлежит графику.
Ответ: не принадлежит.

1063. Докажите, что графики уравнений 3х − у = − 5, −х + 10у = 21, 11х + 21у = 31 проходят через точку Р(−1; 2).

Чтобы доказать, что графики уравнений проходят через точку P(-1; 2), необходимо подставить координаты этой точки ($x = -1$, $y = 2$) в каждое из уравнений. Если в результате получаются верные равенства, то точка принадлежит графикам.

Проверка для уравнения $3x - y = -5$

Подставим $x = -1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-5 = -5$. Равенство верное.

Ответ: Точка P(-1; 2) принадлежит графику уравнения $3x - y = -5$.

Проверка для уравнения $-x + 10y = 21$

Подставим $x = -1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$-(-1) + 10 \cdot 2 = 1 + 20 = 21$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $21 = 21$. Равенство верное.

Ответ: Точка P(-1; 2) принадлежит графику уравнения $-x + 10y = 21$.

Проверка для уравнения $11x + 21y = 31$

Подставим $x = -1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$11 \cdot (-1) + 21 \cdot 2 = -11 + 42 = 31$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $31 = 31$. Равенство верное.

Ответ: Точка P(-1; 2) принадлежит графику уравнения $11x + 21y = 31$.

Поскольку координаты точки P(-1; 2) удовлетворяют всем трем уравнениям, это доказывает, что графики всех трех уравнений проходят через эту точку.

1064. Постройте график уравнения:

а) $2x - y = 6$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

Сначала выразим переменную $y$ через $x$:

$-y = 6 - 2x$

$y = 2x - 6$

Теперь найдём координаты двух точек, подставляя произвольные значения $x$:

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Получаем первую точку $(0; -6)$.

2. Пусть $x = 3$, тогда $y = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0$. Получаем вторую точку $(3; 0)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; -6)$ и $(3; 0)$ и проведём через них прямую. Эта прямая и будет графиком уравнения $2x - y = 6$.

Ответ: График уравнения $2x - y = 6$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -6)$ и $(3; 0)$.

б) $1,5x + 2y = 3$

Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Для построения найдем две точки.

Выразим $y$ через $x$:

$2y = 3 - 1,5x$

$y = \frac{3 - 1,5x}{2} = 1,5 - 0,75x$

Найдем координаты двух точек:

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 1,5 - 0,75 \cdot 0 = 1,5$. Получаем точку $(0; 1,5)$.

2. Пусть $x = 2$, тогда $y = 1,5 - 0,75 \cdot 2 = 1,5 - 1,5 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.

Построим на координатной плоскости прямую, проходящую через точки $(0; 1,5)$ и $(2; 0)$.

Ответ: График уравнения $1,5x + 2y = 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(2; 0)$.

в) $x + 6y = 0$

Это линейное уравнение, его график — прямая. Выразим $y$ через $x$:

$6y = -x$

$y = -\frac{1}{6}x$

Это уравнение вида $y = kx$, которое задает прямую пропорциональность. График такой функции всегда проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$.

Найдем вторую точку. Пусть $x = 6$, тогда $y = -\frac{1}{6} \cdot 6 = -1$. Получаем точку $(6; -1)$.

Проведем прямую через точки $(0; 0)$ и $(6; -1)$.

Ответ: График уравнения $x + 6y = 0$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(6; -1)$.

г) $0,5y - x = 1$

Это линейное уравнение, его график — прямая. Выразим $y$ через $x$:

$0,5y = x + 1$

$y = \frac{x + 1}{0,5} = 2(x + 1) = 2x + 2$

Найдем координаты двух точек:

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.

2. Пусть $y = 0$, тогда $0 = 2x + 2$, откуда $2x = -2$ и $x = -1$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Проведем прямую через точки $(0; 2)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: График уравнения $0,5y - x = 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(-1; 0)$.

д) $1,2x = -4,8$

В этом уравнении отсутствует переменная $y$. Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{-4,8}{1,2} = -4$

Уравнение $x = -4$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) равна -4, а ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси ординат ($Oy$) и проходящая через точку $(-4; 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: График уравнения $1,2x = -4,8$ — это вертикальная прямая $x = -4$.

е) $1,5y = 6$

В этом уравнении отсутствует переменная $x$. Решим уравнение относительно $y$:

$y = \frac{6}{1,5} = 4$

Уравнение $y = 4$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна 4, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0; 4)$ на оси ординат.

Ответ: График уравнения $1,5y = 6$ — это горизонтальная прямая $y = 4$.

1065. Постройте график уравнения:
а) х + у = 5; б) у − 4х = 0; в) 1,6х = 4,8; г) 0,5у = 1,5.

а) $x + y = 5$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными, его график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Выразим y через x: $y = 5 - x$.

2. Найдем точку пересечения с осью OY (осью ординат). Для этого примем $x = 0$:

$y = 5 - 0 = 5$

Получаем точку с координатами $(0, 5)$.

3. Найдем точку пересечения с осью OX (осью абсцисс). Для этого примем $y = 0$:

$0 = 5 - x \implies x = 5$

Получаем точку с координатами $(5, 0)$.

4. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$.

б) $y - 4x = 0$

Это также линейное уравнение. Его график — прямая. Приведем уравнение к виду линейной функции, выразив y через x:

$y = 4x$

Это прямая пропорциональность, ее график всегда проходит через начало координат.

1. Найдем первую точку. Если $x = 0$, то:

$y = 4 \cdot 0 = 0$

Получаем точку $(0, 0)$ — начало координат.

2. Найдем вторую точку. Возьмем произвольное значение x, например $x = 1$:

$y = 4 \cdot 1 = 4$

Получаем точку $(1, 4)$.

3. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, 4)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, 4)$.

в) $1,6x = 4,8$

В данном уравнении отсутствует переменная y. Решим уравнение относительно x:

$x = \frac{4,8}{1,6} = \frac{48}{16} = 3$

Уравнение $x = 3$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса равна 3, а ордината (y) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси OY) и проходящая через точку $(3, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является вертикальная прямая $x = 3$, проходящая через точку $(3, 0)$ параллельно оси OY.

г) $0,5y = 1,5$

В данном уравнении отсутствует переменная x. Решим уравнение относительно y:

$y = \frac{1,5}{0,5} = \frac{15}{5} = 3$

Уравнение $y = 3$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината равна 3, а абсцисса (x) может быть любой. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку $(0, 3)$.

Ответ: Графиком уравнения является горизонтальная прямая $y = 3$, проходящая через точку $(0, 3)$ параллельно оси OX.

1066. Постройте график уравнения:

а) $x - y - 1 = 0$

Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух ее точек.

Сначала выразим переменную $y$ через $x$:

$x - 1 = y$, или $y = x - 1$.

Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой. Для этого выберем два произвольных значения $x$ и вычислим соответствующие значения $y$.

• Пусть $x = 0$. Тогда $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0; -1)$.
• Пусть $x = 3$. Тогда $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку с координатами $(3; 2)$.

Построив эти две точки на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим график уравнения $y = x - 1$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(3; 2)$.

б) $3x = y + 4$

Это также линейное уравнение, и его график — прямая. Выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 4$.

Найдем координаты двух точек этой прямой:

• Пусть $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.
• Пусть $x = 2$. Тогда $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.

Проведем прямую через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$, чтобы получить график данного уравнения.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$.

в) $2(x - y) + 3y = 4$

Для начала упростим данное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2x - 2y + 3y = 4$

$2x + y = 4$

Мы получили линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x + 4$.

Найдем две точки для построения прямой:

• Пусть $x = 0$. Тогда $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.
• Пусть $x = 2$. Тогда $y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.

Построим прямую, проходящую через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$.

г) $(x + y) - (x - y) = 4$

Упростим данное уравнение, раскрыв скобки:

$x + y - x + y = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2y = 4$

Разделим обе части на 2:

$y = 2$

Это уравнение задает прямую, в каждой точке которой ордината (координата $y$) равна 2, вне зависимости от значения абсциссы (координаты $x$). Такая прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и проходит через точку $(0; 2)$ на оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=2$, которая параллельна оси $Ox$ и проходит через точку $(0; 2)$.

1067. На прямой, являющейся графиком уравнения 21х − 5у = 100, взята точка, абсцисса которой равна 3. Найдите ординату этой точки.

По условию задачи, на прямой, заданной уравнением $21x - 5y = 100$, находится точка, у которой абсцисса (координата $x$) равна 3. Нам необходимо найти ординату (координату $y$) этой точки.

Поскольку точка лежит на данной прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим известное значение абсциссы $x = 3$ в уравнение:

$21 \cdot 3 - 5y = 100$

Вычислим произведение в левой части уравнения:

$63 - 5y = 100$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $y$. Для этого сначала изолируем член, содержащий $y$. Перенесем 63 из левой части в правую, изменив знак:

$-5y = 100 - 63$

$-5y = 37$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -5:

$y = \frac{37}{-5}$

$y = -7.4$

Следовательно, ордината этой точки равна -7.4.

Ответ: -7.4

1068. Известно, что ордината некоторой точки прямой, являющейся графиком уравнения 12х − 5у = 132, равна 0. Найдите абсциссу этой точки.

Уравнение прямой задано в виде $12x - 5y = 132$. Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет координаты $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. В координатах точки $x$ называется абсциссой, а $y$ — ординатой.
Согласно условию задачи, ордината искомой точки равна 0. Это означает, что $y = 0$.
Чтобы найти абсциссу ($x$) этой точки, подставим значение $y = 0$ в исходное уравнение прямой:
$12x - 5 \cdot (0) = 132$
Упростим полученное выражение:
$12x - 0 = 132$
$12x = 132$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:
$x = \frac{132}{12}$
$x = 11$
Таким образом, абсцисса точки равна 11.
Ответ: 11

1069. (Для работы в парах.) Не выполняя построения, определите, в каких координатных четвертях расположен график уравнения: а) 12х − 8у = 25; б) 6х + 3у = 11; в) 1,5х = 150; г) 0,2х = 43.
1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при а ≥ 0, b ≥ 0 может быть расположен график уравнения: ах = b; ay = b; ах + by = с.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график уравнения, не выполняя построения, мы можем проанализировать само уравнение. Основной метод для линейных уравнений вида $Ax+By=C$ заключается в нахождении точек пересечения графика с осями координат. Знак координат этих точек позволяет однозначно определить, через какие четверти проходит прямая.

а) $12x - 8y = 25$

1. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью OX). Для этого в уравнении нужно положить $y=0$:

$12x - 8 \cdot 0 = 25$

$12x = 25$

$x = \frac{25}{12}$

Поскольку $x > 0$, точка пересечения $(\frac{25}{12}, 0)$ лежит на положительной части оси OX.

2. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью OY). Для этого в уравнении нужно положить $x=0$:

$12 \cdot 0 - 8y = 25$

$-8y = 25$

$y = -\frac{25}{8}$

Поскольку $y < 0$, точка пересечения $(0, -\frac{25}{8})$ лежит на отрицательной части оси OY.

3. Прямая, проходящая через точку на положительной части оси OX и точку на отрицательной части оси OY, пересекает I, IV и III координатные четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I, III и IV координатных четвертях.

б) $6x + 3y = 11$

1. Найдем точку пересечения с осью OX (при $y=0$):

$6x + 3 \cdot 0 = 11$

$6x = 11$

$x = \frac{11}{6}$

Поскольку $x > 0$, точка пересечения $(\frac{11}{6}, 0)$ лежит на положительной части оси OX.

2. Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$):

$6 \cdot 0 + 3y = 11$

$3y = 11$

$y = \frac{11}{3}$

Поскольку $y > 0$, точка пересечения $(0, \frac{11}{3})$ лежит на положительной части оси OY.

3. Прямая, проходящая через точки на положительных частях осей OX и OY, пересекает I, II и IV координатные четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I, II и IV координатных четвертях.

в) $1,5x = 150$

Это уравнение можно упростить, выразив $x$:

$x = \frac{150}{1,5} = \frac{1500}{15} = 100$

Уравнение $x=100$ задает вертикальную прямую, которая параллельна оси OY и проходит через точку $(100, 0)$. Так как абсцисса всех точек на этой прямой положительна ($x=100$), а ордината ($y$) может быть любым числом (положительным или отрицательным), то прямая расположена справа от оси OY.

Следовательно, график проходит через те четверти, где $x > 0$, то есть через I и IV четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.

г) $0,2x = 43$

Это уравнение также задает вертикальную прямую. Выразим $x$:

$x = \frac{43}{0,2} = \frac{430}{2} = 215$

Уравнение $x=215$ задает вертикальную прямую, параллельную оси OY. Все точки этой прямой имеют положительную абсциссу ($x=215$).

Следовательно, как и в предыдущем случае, график расположен в I и IV четвертях.

Ответ: график уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.