Номер 1069, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 41. График линейного уравнения с двумя переменными - номер 1069, страница 208.

Условие.

1069. (Для работы в парах.) Не выполняя построения, определите, в каких координатных четвертях расположен график уравнения: а) 12х − 8у = 25; б) 6х + 3у = 11; в) 1,5х = 150; г) 0,2х = 43.
1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при а ≥ 0, b ≥ 0 может быть расположен график уравнения: ах = b; ay = b; ах + by = с.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

а) 12х − 8у = 25;
8y = 12x - 25;
$\mathrm{y}=\frac{12\mathrm{x}-25}{8};$
$\mathrm{y}=\frac{12}{8}\mathrm{x}-\frac{25}{8}; \mathrm{k}=\frac{12}{8}>0$
I и III

б) 6х + 3у = 11;
3y = 11 - 6x;
$\mathrm{y}=\frac{11-6\mathrm{x}}{3};$
$\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+\frac{11}{3}; \mathrm{k}=-2<0$
II и IV

в) 1,5х = 150;
$\mathrm{x}=\frac{150}{1,5};$
$\mathrm{x}=\frac{1500}{15};$
x = 100
I и IV

г) 0,2х = 43;
$\mathrm{x}=\frac{43}{0,2};$
$\mathrm{x}=\frac{430}{2};$
x = 215
I и IV

1) a ≥ 0, b ≥ 0
ax = b
$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$
I и IV

ay = b
$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$
I и II

ax + by = c;
by = c - ax;
$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{ax}}{\mathrm{b}};$
$\mathrm{k}=-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}<0$
II и IV

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график уравнения, не выполняя построения, мы можем проанализировать само уравнение. Основной метод для линейных уравнений вида $Ax+By=C$ заключается в нахождении точек пересечения графика с осями координат. Знак координат этих точек позволяет однозначно определить, через какие четверти проходит прямая.

а) $12x - 8y = 25$

1. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью OX). Для этого в уравнении нужно положить $y=0$:

$12x - 8 \cdot 0 = 25$

$12x = 25$

$x = \frac{25}{12}$

Поскольку $x > 0$, точка пересечения $(\frac{25}{12}, 0)$ лежит на положительной части оси OX.

2. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью OY). Для этого в уравнении нужно положить $x=0$:

$12 \cdot 0 - 8y = 25$

$-8y = 25$

$y = -\frac{25}{8}$

Поскольку $y < 0$, точка пересечения $(0, -\frac{25}{8})$ лежит на отрицательной части оси OY.

3. Прямая, проходящая через точку на положительной части оси OX и точку на отрицательной части оси OY, пересекает I, IV и III координатные четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I, III и IV координатных четвертях.

б) $6x + 3y = 11$

1. Найдем точку пересечения с осью OX (при $y=0$):

$6x + 3 \cdot 0 = 11$

$6x = 11$

$x = \frac{11}{6}$

Поскольку $x > 0$, точка пересечения $(\frac{11}{6}, 0)$ лежит на положительной части оси OX.

2. Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$):

$6 \cdot 0 + 3y = 11$

$3y = 11$

$y = \frac{11}{3}$

Поскольку $y > 0$, точка пересечения $(0, \frac{11}{3})$ лежит на положительной части оси OY.

3. Прямая, проходящая через точки на положительных частях осей OX и OY, пересекает I, II и IV координатные четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I, II и IV координатных четвертях.

в) $1,5x = 150$

Это уравнение можно упростить, выразив $x$:

$x = \frac{150}{1,5} = \frac{1500}{15} = 100$

Уравнение $x=100$ задает вертикальную прямую, которая параллельна оси OY и проходит через точку $(100, 0)$. Так как абсцисса всех точек на этой прямой положительна ($x=100$), а ордината ($y$) может быть любым числом (положительным или отрицательным), то прямая расположена справа от оси OY.

Следовательно, график проходит через те четверти, где $x > 0$, то есть через I и IV четверти.

Ответ: график уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.

г) $0,2x = 43$

Это уравнение также задает вертикальную прямую. Выразим $x$:

$x = \frac{43}{0,2} = \frac{430}{2} = 215$

Уравнение $x=215$ задает вертикальную прямую, параллельную оси OY. Все точки этой прямой имеют положительную абсциссу ($x=215$).

Следовательно, как и в предыдущем случае, график расположен в I и IV четвертях.

Ответ: график уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.