Номер 1076, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1076, страница 212.

Условие.

1076. Решите графически систему линейных уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=9\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1\\ 3\mathrm{y}=9-\mathrm{x}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1\\ \mathrm{y}=\frac{9-\mathrm{x}}{3}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{x}-1\\ \mathrm{y}=3-\frac{1}{3}\mathrm{x}\end{array}\right.$

y = x - 1

x	0	1
y	-1	0

$\mathrm{y}=-\frac{1}{3}\mathrm{x}+3$

x	0	3
y	3	2

Ответ: (3; 2).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\\ -2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=10\end{array} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=4-\mathrm{x}\\ 5\mathrm{y}=10+2\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{4-\mathrm{x}}{2}\\ \mathrm{y}=\frac{10+2\mathrm{x}}{5}\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=2-\frac{1}{2}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=2+\frac{2}{5}\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\mathrm{y}=2-\frac{1}{2}\mathrm{x}$

x	0	2
y	2	1

$\mathrm{y}=2+\frac{2}{5}\mathrm{x}$

x	0	5
y	2	4

Ответ: (0; 2).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ -3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=14\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\mathrm{x}\\ 4\mathrm{y}=14+3\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{3\mathrm{x}+14}{4}\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{3}{4}\mathrm{x}+\frac{14}{4}\end{array}\right.\right.$

y=-x

x	0	2
y	0	-2

$\mathrm{y}=\frac{3}{4}\mathrm{x}+\frac{14}{4}$

x	2	-2
y	5	2

Ответ: (-2; 2).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=6\\ 3\mathrm{x}+10\mathrm{y}=-12\end{array} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=3\mathrm{x}-6\\ 10\mathrm{y}=-12-3\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{3\mathrm{x}-6}{2}\\ \mathrm{y}=\frac{-12-3\mathrm{x}}{10}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=1,5\mathrm{x}-3\\ \mathrm{y}=-0,3\mathrm{x}-1,2\end{array}\right.$

y = 1,5x-3

x	0	2
y	-3	0

y = -0,3x - 1,2

x	0	1
y	-1,2	-1,5

Ответ: (1; -1,5).

Решение 2.

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков. Каждое из уравнений является линейным, поэтому их графики — прямые. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Первое уравнение: $x - y = 1$.
Выразим $y$ через $x$: $y = x - 1$.
Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.

Проведем прямую через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

2. Второе уравнение: $x + 3y = 9$.
Выразим $y$ через $x$: $3y = 9 - x$, откуда $y = 3 - \frac{1}{3}x$.
Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = 0$, то $y = 3 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - \frac{1}{3} \cdot 3 = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

Проведем прямую через точки $(0, 3)$ и $(3, 2)$.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в точке $(3, 2)$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(3, 2)$

б)

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Первое уравнение: $x + 2y = 4$.
Выразим $y$: $2y = 4 - x$, откуда $y = 2 - \frac{1}{2}x$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = 2 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 - 2 = 0$. Точка $(4, 0)$.

2. Второе уравнение: $-2x + 5y = 10$.
Выразим $y$: $5y = 10 + 2x$, откуда $y = 2 + \frac{2}{5}x$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2 + 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 5$, то $y = 2 + \frac{2}{5} \cdot 5 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5, 4)$.

Обе прямые проходят через точку $(0, 2)$. Следовательно, эта точка является точкой их пересечения и решением системы уравнений.

Ответ: $(0, 2)$

в)

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Первое уравнение: $x + y = 0$.
Выразим $y$: $y = -x$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2$. Точка $(2, -2)$.

2. Второе уравнение: $-3x + 4y = 14$.
Выразим $y$: $4y = 14 + 3x$, откуда $y = \frac{14 + 3x}{4}$.
Найдем две точки:

• Если $x = -2$, то $y = \frac{14 + 3(-2)}{4} = \frac{14 - 6}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{14 + 3(2)}{4} = \frac{14 + 6}{4} = \frac{20}{4} = 5$. Точка $(2, 5)$.

Построив графики на координатной плоскости, мы найдем точку их пересечения. Координаты этой точки $(-2, 2)$.

Ответ: $(-2, 2)$

г)

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Первое уравнение: $3x - 2y = 6$.
Выразим $y$: $2y = 3x - 6$, откуда $y = \frac{3}{2}x - 3$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{2} \cdot 2 - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(2, 0)$.

2. Второе уравнение: $3x + 10y = -12$.
Выразим $y$: $10y = -12 - 3x$, откуда $y = -1.2 - 0.3x$.
Найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = -1.2 - 0.3 \cdot 1 = -1.5$. Точка $(1, -1.5)$.
• Если $x = -4$, то $y = -1.2 - 0.3(-4) = -1.2 + 1.2 = 0$. Точка $(-4, 0)$.

Пересечение построенных прямых происходит в точке с координатами $(1, -1.5)$, что и является решением системы.

Ответ: $(1, -1.5)$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.