Номер 1077, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1077, страница 212.

Условие.

1077. Решите графически систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - 2\mathrm{y} = 6,\\ 3\mathrm{x} + 2\mathrm{y} =-6;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - \mathrm{y} = 0,\\ 2\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = -5?\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - 2\mathrm{y} = 6\\ 3\mathrm{x} + 2\mathrm{y} =-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=\mathrm{x}-6\\ 2\mathrm{y}=-3\mathrm{x}+6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-6}{2}\\ \mathrm{y}=\frac{-3\mathrm{x}-6}{2}\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}-3\\ \mathrm{y}=-1,5\mathrm{x}-3\end{array}\right.\right.$

$\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}-3$

x	0	2
y	-3	-2

y = -1,5x - 3

x	0	-2
y	-3	0

Ответ: (0; -3).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - \mathrm{y} = 0\\ 2\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = -5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}\\ 3\mathrm{y}=-2\mathrm{x}-5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{-2\mathrm{x}-5}{3}\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=-\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{5}{3}\end{array}\right.\right.$

y = x

x	0	3
y	0	3

$\mathrm{y}=-\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{5}{3}$

x	2	-1
y	-3	-1

Ответ: (-1; -1).

Решение 2.

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3x + 2y = -6 \end{cases} $

1. Построим график первого уравнения: $x - 2y = 6$.
Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим $y$ через $x$ для удобства вычислений: $ -2y = 6 - x \implies 2y = x - 6 \implies y = \frac{1}{2}x - 3 $.
Найдем две точки:
- при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
- при $y=0$, $0 = \frac{1}{2}x - 3 \implies x = 6$. Точка $(6, 0)$.
Проведем прямую через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.

2. Построим график второго уравнения: $3x + 2y = -6$.
Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$: $ 2y = -3x - 6 \implies y = -\frac{3}{2}x - 3 $.
Найдем две точки:
- при $x=0$, $y = -\frac{3}{2}(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
- при $y=0$, $0 = -\frac{3}{2}x - 3 \implies \frac{3}{2}x = -3 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
Проведем прямую через точки $(0, -3)$ и $(-2, 0)$.

3. Найдем точку пересечения.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(0, -3)$.

4. Проверка.
Подставим координаты точки $(0, -3)$ в оба уравнения системы:
$ \begin{cases} (0) - 2(-3) = 0 + 6 = 6 \\ 3(0) + 2(-3) = 0 - 6 = -6 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6 = 6 \\ -6 = -6 \end{cases} $
Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(0, -3)$.

---

б)

Решим графически систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 0 \\ 2x + 3y = -5 \end{cases} $

1. Построим график первого уравнения: $x - y = 0$.
Выразим $y$ через $x$: $y = x$.
Это прямая, проходящая через начало координат. Возьмем две точки для построения:
- при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- при $x=2$, $y=2$. Точка $(2, 2)$.
Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

2. Построим график второго уравнения: $2x + 3y = -5$.
Выразим $y$ через $x$: $ 3y = -2x - 5 \implies y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} $.
Найдем две точки для этой прямой:
- при $x=-1$, $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{5}{3} = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
- при $x=2$, $y = -\frac{2}{3}(2) - \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Точка $(2, -3)$.
Проведем прямую через точки $(-1, -1)$ и $(2, -3)$.

3. Найдем точку пересечения.
На координатной плоскости графики пересекаются в точке $(-1, -1)$.

4. Проверка.
Подставим координаты точки $(-1, -1)$ в оба уравнения системы:
$ \begin{cases} (-1) - (-1) = -1 + 1 = 0 \\ 2(-1) + 3(-1) = -2 - 3 = -5 \end{cases} $
$ \begin{cases} 0 = 0 \\ -5 = -5 \end{cases} $
Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(-1, -1)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.