Номер 1079, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1079, страница 212.

Условие.

1079. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} = 6y - 1,\\ 2\mathrm{x} - 10\mathrm{y} = 3;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x} + \mathrm{y}=4,\\ \mathrm{x} + \mathrm{y} - 6 = 0;\end{array}\right.$

$\mathrm{в}) \left\{\begin{array}{c}12\mathrm{x} - 3\mathrm{y}=5,\\ 6\mathrm{y} - 24\mathrm{x}=-10?\end{array}\right.$

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто − задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6\mathrm{y}-1\\ 2\mathrm{x}-10\mathrm{y}=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{y}=\mathrm{x}+1\\ 10\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{1}{6}\mathrm{x}+\frac{1}{6}\\ \mathrm{y}=\frac{2}{10}\mathrm{x}-\frac{3}{10}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=\frac{1}{6}; {\mathrm{k}}_2=0,2.$

Значит, система имеет единственное решение, так как графики пересекаются.

Ответ: единственное решение.

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}-6=0\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4-5\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=6-\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

${\mathrm{k}}_1=-5; {\mathrm{k}}_2=-1.$

Значит, графики пересекаются.

Ответ: единственное решение.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}12\mathrm{x}-3\mathrm{y}=5\\ 6\mathrm{y}-24\mathrm{x}=-10\end{array} \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{y}=12\mathrm{x}-5\\ 6\mathrm{y}=-10+24\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-\frac{5}{3}\\ \mathrm{y}=\frac{-10}{6}+4\mathrm{x}\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-\frac{5}{3}\\ \mathrm{y}=4\mathrm{x}-\frac{5}{3}\end{array}\right.\right.$

${\mathrm{k}}_1= {\mathrm{k}}_2=4; \mathrm{b}=-\frac{5}{3}.$

Значит, прямые совпадают.

Ответ: решений бесконечно много.

Решение 2.

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Если представить уравнения в виде $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$, то возможны три случая:

• Система имеет одно решение (прямые пересекаются), если коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Система не имеет решений (прямые параллельны), если коэффициенты при переменных пропорциональны, но эта пропорция не сохраняется для свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
• Система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают), если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

а)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases} $
Для решения используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$2(6y - 1) - 10y = 3$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$12y - 2 - 10y = 3$
$2y = 3 + 2$
$2y = 5$
$y = 2.5$
Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение:
$x = 6 \cdot 2.5 - 1 = 15 - 1 = 14$
Система имеет единственное решение $(14; 2.5)$.
Ответ: система имеет одно решение.

б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду: $x + y = 6$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y = 6; \end{cases} $
Используем метод сложения (вычитания). Вычтем второе уравнение из первого:
$(5x + y) - (x + y) = 4 - 6$
$4x = -2$
$x = -\frac{2}{4} = -0.5$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $x + y = 6$:
$-0.5 + y = 6$
$y = 6 + 0.5 = 6.5$
Система имеет единственное решение $(-0.5; 6.5)$.
Ответ: система имеет одно решение.

в)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10; \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами:
$-24x + 6y = -10$
Разделим обе части второго уравнения на $-2$:
$\frac{-24x}{-2} + \frac{6y}{-2} = \frac{-10}{-2}$
$12x - 3y = 5$
Второе уравнение после преобразования стало идентичным первому. Это означает, что уравнения в системе являются зависимыми и описывают одну и ту же прямую.
Проверим соотношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{12}{-24} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.