Номер 1074, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1074, страница 212.

Условие.

1074. Какие из пар (−3; 4), (−2; −6), (−4; 3) являются решениями системы уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}= \mathrm{y} -7,\\ 3\mathrm{x} + 4\mathrm{y}=0;\end{array}\right.$$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}13x - \mathrm{y}=0,\\ 5\mathrm{x} - \mathrm{y}=-4?\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}= \mathrm{y} -7\\ 3\mathrm{x} + 4\mathrm{y}=0\end{array}\right.$

(-3; 4)

$\left\{\begin{array}{l}-3=4-7\\ 3·(-3)+4·4=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-3=3 – \mathrm{верно}\\ -9+16=0 – \mathrm{неверно}\end{array}\right.$

(-2; -6)

$\left\{\begin{array}{l}-2=-6-7\\ 3·(-2)+4·(-6)=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2=-13 – \mathrm{неверно}\\ -6-24=0 – \mathrm{неверно}\end{array}\right.$

(-4; 3)

$\left\{\begin{array}{l}-4=3-7\\ 3·\left(-4\right)+4·3=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-4=-4 – \mathrm{верно}\\ -12+12=0 – \mathrm{верно}\end{array}\right.$

Ответ: (-4; 3).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}13\mathrm{x} - \mathrm{y}=0\\ 5\mathrm{x} - \mathrm{y}=-4\end{array}\right.$

(-3; 4)

$\left\{\begin{array}{l}13·(-3)-4=0\\ 5·(-3)-4=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-39-4=0 – \mathrm{неверно}\\ -15-4=-4 – \mathrm{неверно}\end{array}\right.$

(-2; -6)

$\left\{\begin{array}{l}13·(-2)-(-6)=0\\ 5·(-2)-(-6)=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-26+6=0 – \mathrm{неверно}\\ -10+6=-4 – \mathrm{верно}\end{array}\right.$

(-4; 3)

$\left\{\begin{array}{l}13·(-4)-3=0\\ 5·(-4)-3=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-52-3=0 – \mathrm{неверно}\\ -20-3=-4 – \mathrm{неверно}\end{array}\right.$

Ответ: таких пар нет.

Решение 2.

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из этой пары в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные числовые равенства для всех уравнений, то пара является решением.

а) Проверим предложенные пары для системы уравнений $ \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0. \end{cases} $

1. Проверка пары $(-3; 4)$. Подставляем $x = -3$ и $y = 4$ в уравнения системы:

Первое уравнение: $x = y - 7 \implies -3 = 4 - 7 \implies -3 = -3$. Равенство верное.

Второе уравнение: $3x + 4y = 0 \implies 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = -9 + 16 = 7$. Получаем $7 = 0$. Равенство неверное.

Поскольку второе равенство неверно, пара $(-3; 4)$ не является решением системы.

2. Проверка пары $(-2; -6)$. Подставляем $x = -2$ и $y = -6$ в первое уравнение:

$x = y - 7 \implies -2 = -6 - 7 \implies -2 = -13$. Равенство неверное.

Так как уже первое равенство неверное, нет необходимости проверять второе. Пара $(-2; -6)$ не является решением системы.

3. Проверка пары $(-4; 3)$. Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в уравнения системы:

Первое уравнение: $x = y - 7 \implies -4 = 3 - 7 \implies -4 = -4$. Равенство верное.

Второе уравнение: $3x + 4y = 0 \implies 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$. Получаем $0 = 0$. Равенство верное.

Поскольку оба равенства верные, пара $(-4; 3)$ является решением системы.

Ответ: решением системы является пара $(-4; 3)$.

б) Проверим предложенные пары для системы уравнений $ \begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4. \end{cases} $

1. Проверка пары $(-3; 4)$. Подставляем $x = -3$ и $y = 4$ в первое уравнение:

$13x - y = 0 \implies 13 \cdot (-3) - 4 = -39 - 4 = -43$. Получаем $-43 = 0$. Равенство неверное.

Пара $(-3; 4)$ не является решением системы.

2. Проверка пары $(-2; -6)$. Подставляем $x = -2$ и $y = -6$ в первое уравнение:

$13x - y = 0 \implies 13 \cdot (-2) - (-6) = -26 + 6 = -20$. Получаем $-20 = 0$. Равенство неверное.

Пара $(-2; -6)$ не является решением системы.

3. Проверка пары $(-4; 3)$. Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в первое уравнение:

$13x - y = 0 \implies 13 \cdot (-4) - 3 = -52 - 3 = -55$. Получаем $-55 = 0$. Равенство неверное.

Пара $(-4; 3)$ не является решением системы.

Ответ: ни одна из предложенных пар не является решением системы.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.