Номер 1080, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1080, страница 213.

Условие.

1080. Укажите какие−нибудь три решения системы уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 5,\\ 3\mathrm{x} - 9\mathrm{y} =15;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}1,5\mathrm{y} + \mathrm{x}=-0,5,\\ 2\mathrm{x} + 3\mathrm{y} =-1.\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 5,\\ 3\mathrm{x} - 9\mathrm{y} =15;\end{array}\right.$

Данная система имеет бесконечно много решений.

(5; 0); (8; 1); (-10; -5)

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{c}1,5\mathrm{y} + \mathrm{x}=-0,5,\\ 2\mathrm{x} + 3\mathrm{y} =-1;\end{array}\right.$

Данная система имеет бесконечно много решений.

$\left(0; -\frac{1}{3}\right)\mathbf{;}\mathbf{ }\left(-0,5; 0\right)\mathbf{;}\mathbf{ }\left(10; -7\right)\mathbf{.}$

Решение 2.

а)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases} $$ Заметим, что если разделить второе уравнение на 3, мы получим:
$(3x - 9y) : 3 = 15 : 3$
$x - 3y = 5$
Это уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечное множество решений.
Чтобы найти какие-нибудь три решения, выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 5 + 3y$
Теперь мы можем выбрать любое значение для $y$ и найти соответствующее значение $x$.
1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 0 = 5$. Получаем решение $(5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 1 = 8$. Получаем решение $(8; 1)$.
3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot (-1) = 5 - 3 = 2$. Получаем решение $(2; -1)$.

Ответ: $(5; 0)$, $(8; 1)$, $(2; -1)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 1,5y + x = -0,5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 2:
$2 \cdot (1,5y + x) = 2 \cdot (-0,5)$
$3y + 2x = -1$
Переставив слагаемые, получим $2x + 3y = -1$, что в точности совпадает со вторым уравнением системы.
Следовательно, уравнения зависимы, и система имеет бесконечное множество решений.
Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = -0,5 - 1,5y$
Теперь мы можем выбрать любое значение для $y$ и найти соответствующее значение $x$.
1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot 0 = -0,5$. Получаем решение $(-0,5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot 1 = -0,5 - 1,5 = -2$. Получаем решение $(-2; 1)$.
3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = -0,5 - 1,5 \cdot (-1) = -0,5 + 1,5 = 1$. Получаем решение $(1; -1)$.

Ответ: $(-0,5; 0)$, $(-2; 1)$, $(1; -1)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.