Номер 1083, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1083, страница 213.

1083. Разложите на множители:
а) а³ + а² − х²а − x²;
б) b³ + b²с − 9b − 9с.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$, применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 + a^2) - (x^2a + x^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель $a^2$, а из второй группы — $x^2$:

$a^2(a + 1) - x^2(a + 1)$

Теперь мы видим, что у обоих полученных слагаемых есть общий множитель — это скобка $(a + 1)$. Вынесем ее за скобки:

$(a + 1)(a^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке, $(a^2 - x^2)$, представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставим полученное разложение обратно в наше выражение. Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a + 1)(a - x)(a + x)$

Ответ: $(a + 1)(a - x)(a + x)$.

б)

Чтобы разложить на множители выражение $b^3 + b^2c - 9b - 9c$, также воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым:

$(b^3 + b^2c) + (-9b - 9c) = (b^3 + b^2c) - (9b + 9c)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^2$, а во второй — общий множитель $9$:

$b^2(b + c) - 9(b + c)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b + c)$:

$(b + c)(b^2 - 9)$

Выражение во второй скобке, $(b^2 - 9)$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Подставив это в наше выражение, получаем окончательное разложение на множители:

$(b + c)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b + c)(b - 3)(b + 3)$.