Номер 5, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Контрольные вопросы и задания - номер 5, страница 213.

Условие.

5 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение 1.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь единственное решение, не иметь решений и иметь бесконечно много решений.

Решение 2.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными описывает взаимное расположение двух прямых на координатной плоскости. В зависимости от этого расположения, количество решений системы может быть разным. Существует три возможных варианта.

Рассмотрим систему в общем виде:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

1. Одно решение

Этот случай имеет место, когда графики уравнений (две прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки $(x, y)$ и являются уникальным решением системы. Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых различны, что выражается через непропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие для наличия единственного решения: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases} $ коэффициенты не пропорциональны ($\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}$), поэтому система имеет одно решение $(3, -1)$.

Ответ: система может иметь одно решение.

2. Нет решений

Этот случай возникает, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Поскольку параллельные прямые на плоскости никогда не пересекаются, у них нет общих точек, и, следовательно, система не имеет решений. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но эта пропорция нарушается для свободных членов.

Условие отсутствия решений: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} $ имеем $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, но $\frac{4}{10} \neq \frac{1}{2}$. Прямые параллельны, и система не имеет решений.

Ответ: система может не иметь решений.

3. Бесконечно много решений

Этот случай имеет место, когда оба уравнения системы описывают одну и ту же прямую. То есть их графики совпадают. Каждая точка этой прямой является решением, поэтому система имеет бесконечное множество решений. Алгебраически это означает, что все коэффициенты одного уравнения можно получить из коэффициентов другого путем умножения на одно и то же число (все коэффициенты пропорциональны).

Условие для бесконечного числа решений: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Пример: В системе $ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 6x - 2y = 14 \end{cases} $ второе уравнение получается из первого умножением на 2. Имеем $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{7}{14}$. Прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система может иметь бесконечно много решений.

Решение 3.

Решение 5.