Номер 1088, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1088, страница 216.

Условие.

1088. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=0;\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}=-4\mathrm{y};\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\frac{4}{3}\mathrm{y};\\ 2·\left(-\frac{4}{3}\mathrm{y}\right)+3\mathrm{y}=1;\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\frac{4}{3}\mathrm{y};\\ -\frac{8}{3}\mathrm{y}+3\mathrm{y}=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\frac{4}{3}\mathrm{y};\\ \frac{1}{3}\mathrm{y}=1;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=3;\\ \mathrm{x}=-\frac{4}{3}·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4;\\ \mathrm{y}=3.\end{array}\right.$

Ответ: (-4; 3).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}7\mathrm{x}+2\mathrm{y}=0;\\ 4\mathrm{y}+9\mathrm{x}=10;\end{array} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=-7\mathrm{x};\\ 2·2\mathrm{y}+9\mathrm{x}=10;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=-7\mathrm{x};\\ 2·(-7\mathrm{x})+9\mathrm{x}=10;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\frac{7}{2}\mathrm{x};\\ -14\mathrm{x}+9\mathrm{x}=10;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\frac{7}{2}\mathrm{x};\\ -5\mathrm{x}=10;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\frac{7}{2}\mathrm{x};\\ \mathrm{x}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2;\\ \mathrm{y}=-\frac{7}{2}·(-2);\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2;\\ \mathrm{y}=7.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-2; 7).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x}+6\mathrm{y}=-20;\\ 9\mathrm{y}+2\mathrm{x}=25;\end{array} \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x}=-20-6\mathrm{y};\\ 9\mathrm{y}+2\mathrm{x}=25;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4-\frac{6}{5}\mathrm{y};\\ 9\mathrm{y}+2\left(-4-\frac{6}{5}\mathrm{y}\right)=25;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4-\frac{6}{5}\mathrm{y};\\ 9\mathrm{y}-8-\frac{12}{5}\mathrm{y}=25;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4-\frac{6}{5}\mathrm{y};\\ 9\mathrm{y}-2,4\mathrm{y}=25+8;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-4-1,2\mathrm{y};\\ 6,6\mathrm{y}=33;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{33}{6,6};\\ \mathrm{x}=-4-1,2·\frac{33}{6,6};\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{330}{66};\\ \mathrm{x}=-4-\frac{1,2·33}{6,6};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=5;\\ \mathrm{x}=-4-1,2·5;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=5;\\ \mathrm{x}=-4-6;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-10;\\ \mathrm{y}=5.\end{array}\right.$

Ответ: (-10; 5).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+1=8\mathrm{y};\\ 11\mathrm{y}-3\mathrm{x}=-11;\end{array} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}=8\mathrm{y}-1;\\ 11\mathrm{y}-(8\mathrm{y}-1)=-11;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}=8\mathrm{y}-1;\\ 11\mathrm{y}-8\mathrm{y}+1=-11;\end{array} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}=8\mathrm{y}-1;\\ 3\mathrm{y}=-11-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}=8\mathrm{y}-1;\\ 3\mathrm{y}=-12;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 3\mathrm{x}=8·(-4)-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 3\mathrm{x}=-33;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-11;\\ \mathrm{y}=-4.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-11; -4).

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной x стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 2(3x + 4y) = 2 \cdot 0 \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 8y = 0 \\ -6x - 9y = -3 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения полученной системы:

$(6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3)$

$6x - 6x + 8y - 9y = -3$

$-y = -3$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти x:

$3x + 4(3) = 0$

$3x + 12 = 0$

$3x = -12$

$x = -4$

Проверим решение, подставив $x = -4$ и $y = 3$ во второе уравнение исходной системы:

$2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $(-4; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \\ 4y + 9x = 10 \end{cases} $

Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 0 \\ 9x + 4y = 10 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$2y = -7x$

$y = -\frac{7}{2}x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$9x + 4(-\frac{7}{2}x) = 10$

$9x - 2 \cdot 7x = 10$

$9x - 14x = 10$

$-5x = 10$

$x = -2$

Теперь найдем y, подставив значение $x = -2$ в выражение для y:

$y = -\frac{7}{2}(-2) = 7$

Проверим решение, подставив $x = -2$ и $y = 7$ в исходные уравнения:

$7(-2) + 2(7) = -14 + 14 = 0$. Верно.

$4(7) + 9(-2) = 28 - 18 = 10$. Верно.

Ответ: $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 9y + 2x = 25 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе - на -5:

$ \begin{cases} 2(5x + 6y) = 2(-20) \\ -5(2x + 9y) = -5(25) \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 12y = -40 \\ -10x - 45y = -125 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(10x + 12y) + (-10x - 45y) = -40 + (-125)$

$12y - 45y = -165$

$-33y = -165$

$y = \frac{-165}{-33} = 5$

Подставим $y = 5$ в первое уравнение исходной системы:

$5x + 6(5) = -20$

$5x + 30 = -20$

$5x = -50$

$x = -10$

Проверим решение, подставив $x = -10$ и $y = 5$ во второе уравнение исходной системы:

$9(5) + 2(-10) = 45 - 20 = 25$. Равенство верное.

Ответ: $(-10; 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11 \end{cases} $

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$ \begin{cases} 3x - 8y = -1 \\ -3x + 11y = -11 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Коэффициенты при x уже являются противоположными числами, поэтому можно сразу сложить уравнения:

$(3x - 8y) + (-3x + 11y) = -1 + (-11)$

$3x - 3x - 8y + 11y = -12$

$3y = -12$

$y = -4$

Подставим $y = -4$ в первое преобразованное уравнение:

$3x - 8(-4) = -1$

$3x + 32 = -1$

$3x = -33$

$x = -11$

Проверим решение, подставив $x = -11$ и $y = -4$ во второе исходное уравнение:

$11(-4) - 3(-11) = -44 + 33 = -11$. Равенство верное.

Ответ: $(-11; -4)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.