Номер 1094, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1094, страница 216.

Условие.

1094. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{y}}{4}-\frac{\mathrm{x}}{5}=6 /·20;\\ \frac{\mathrm{x}}{15}+\frac{\mathrm{y}}{12}=0 /·60;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{y}-4\mathrm{x}=120;\\ 4\mathrm{x}+5\mathrm{y}=0;\end{array} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=5\mathrm{y}-120;\\ 5\mathrm{y}-120+5\mathrm{y}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=5\mathrm{y}-120;\\ 10\mathrm{y}=120;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12;\\ 4\mathrm{x}=5·12-120;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12;\\ 4\mathrm{x}=60-120;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12;\\ 4\mathrm{x}=-60;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12;\\ \mathrm{x}=-15.\end{array}\right.$

Ответ: (-15; 12).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{6\mathrm{x}}{5}+\frac{\mathrm{y}}{15}=2,3 /·15;\\ \frac{\mathrm{x}}{10}-\frac{2\mathrm{y}}{3}=1,2 /·30;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3·6\mathrm{x}+\mathrm{y}=34,5;\\ 3\mathrm{x}-10·2\mathrm{y}=36;\end{array} \left\{\begin{array}{l}18\mathrm{x}+\mathrm{y}=34,5;\\ 3\mathrm{x}-20\mathrm{y}=36;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=34,5-18\mathrm{x};\\ 3\mathrm{x}-20·(34,5-18\mathrm{x})=36;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=34,5-18\mathrm{x};\\ 3\mathrm{x}-690+360\mathrm{x}=36;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=34,5-18\mathrm{x};\\ 363\mathrm{x}=36+690;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=34,5-18\mathrm{x};\\ 363\mathrm{x}=726;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=34,5-18·2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=34,5-36;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=-1,5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (2; -1,5).

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{y}}{3}=2 /·6;\\ \frac{3\mathrm{x}}{2}-\mathrm{y}=6 /·2;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=12;\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=12.\end{array}\right.$

Система имеет бесконечно много решений (x₀; y₀), где x₀ – произвольное число, y₀ = 1,5x₀ - 6.

Ответ: (x₀; 1,5x₀ - 6).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{3\mathrm{x}}{5}-2\mathrm{y}=5 /·5;\\ \mathrm{x}-\frac{3\mathrm{y}}{2}=6,5 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-10\mathrm{y}=25;\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=13;\end{array} \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}=25+10\mathrm{y};\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=13;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 2·\frac{25+10\mathrm{y}}{3}-3\mathrm{y}=13 /·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 2(25+10\mathrm{y})-9\mathrm{y}=39;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 50+20\mathrm{y}-9\mathrm{y}=39;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 50+11\mathrm{y}=39;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 11\mathrm{y}=39-50;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{25+10\mathrm{y}}{3};\\ 11\mathrm{y}=-11;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ \mathrm{x}=\frac{25+10·(-1)}{3};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ \mathrm{x}=5.\end{array}\right.$

Ответ: (5; -1).

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0 \end{cases} $$

Для избавления от дробей в первом уравнении, умножим его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot (\frac{y}{4} - \frac{x}{5}) = 20 \cdot 6$

$5y - 4x = 120$

Во втором уравнении, умножим его на наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 12, то есть на 60:

$60 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{y}{12}) = 60 \cdot 0$

$4x + 5y = 0$

Получим эквивалентную систему, которую решим методом сложения:

$$ \begin{cases} -4x + 5y = 120 \\ 4x + 5y = 0 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:

$(-4x + 5y) + (4x + 5y) = 120 + 0$

$10y = 120$

$y = 12$

Подставим найденное значение $y = 12$ во второе уравнение преобразованной системы:

$4x + 5(12) = 0$

$4x + 60 = 0$

$4x = -60$

$x = -15$

Ответ: $x = -15, y = 12$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2 \end{cases} $$

Умножим обе части каждого уравнения, чтобы избавиться от дробей.

Для первого уравнения, наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15 равно 15. Учитывая десятичную дробь 2,3, удобно умножить все уравнение на 30 (НОК(5, 15, 10)):

$30 \cdot (\frac{6x}{5} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot 2,3$

$6 \cdot 6x + 2 \cdot y = 69$

$36x + 2y = 69$

Для второго уравнения, наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 3 равно 30. Учитывая десятичную дробь 1,2, умножим все уравнение на 30 (НОК(10, 3, 10)):

$30 \cdot (\frac{x}{10} - \frac{2y}{3}) = 30 \cdot 1,2$

$3x - 10 \cdot 2y = 36$

$3x - 20y = 36$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 36x + 2y = 69 \\ 3x - 20y = 36 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$10 \cdot (36x + 2y) = 10 \cdot 69 \implies 360x + 20y = 690$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(360x + 20y) + (3x - 20y) = 690 + 36$

$363x = 726$

$x = 2$

Подставим $x = 2$ во второе уравнение преобразованной системы ($3x - 20y = 36$):

$3(2) - 20y = 36$

$6 - 20y = 36$

$-20y = 30$

$y = -\frac{30}{20} = -1,5$

Ответ: $x = 2, y = -1,5$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{3x}{2} - y = 6 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив его на НОК(2, 3) = 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Упростим второе уравнение, умножив его на 2:

$2 \cdot (\frac{3x}{2} - y) = 2 \cdot 6$

$3x - 2y = 12$

Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду: $3x - 2y = 12$. Это означает, что уравнения линейно зависимы, и система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому уравнению, является решением системы.

Выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x - 12$

$y = \frac{3x - 12}{2} = \frac{3}{2}x - 6$

Таким образом, решениями являются все пары $(x, y)$, где $y = \frac{3}{2}x - 6$, а $x$ - любое действительное число.

Ответ: система имеет бесконечно много решений вида $(x, \frac{3}{2}x - 6)$, где $x$ — любое число.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 5:

$5 \cdot (\frac{3x}{5} - 2y) = 5 \cdot 5$

$3x - 10y = 25$

Умножим второе уравнение на 2:

$2 \cdot (x - \frac{3y}{2}) = 2 \cdot 6,5$

$2x - 3y = 13$

Получим систему:

$$ \begin{cases} 3x - 10y = 25 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$2 \cdot (3x - 10y) = 2 \cdot 25 \implies 6x - 20y = 50$

$-3 \cdot (2x - 3y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 9y = -39$

Сложим полученные уравнения:

$(6x - 20y) + (-6x + 9y) = 50 - 39$

$-11y = 11$

$y = -1$

Подставим значение $y = -1$ во второе преобразованное уравнение ($2x - 3y = 13$):

$2x - 3(-1) = 13$

$2x + 3 = 13$

$2x = 10$

$x = 5$

Ответ: $x = 5, y = -1$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.