Номер 1097, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1097, страница 217.

Условие.

1097. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = х² − 4х + 5, расположены в верхней полуплоскости.

Решение 1.

у = х² − 4х + 5 =
= x² - 4x + 4 + 1 = (x - 2)² + 1

(x - 2)² ≥ 0;
(x - 2)² + 1 > 0, т.е. y > 0

Значит, все точки графика функции у = х² − 4х + 5 расположены в верхней полуплоскости.

Решение 2.

Чтобы доказать, что все точки графика функции $y = x^2 - 4x + 5$ расположены в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ значение ординаты $y$ является положительным, то есть $y > 0$.

Для этого преобразуем правую часть уравнения функции, применив метод выделения полного квадрата.

$y = x^2 - 4x + 5$

Чтобы выделить полный квадрат, представим $5$ как $4+1$. Это позволит нам сгруппировать слагаемые для формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = x^2 - 4x + 4 + 1$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 1$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-2)^2$. Таким образом, функция принимает вид:

$y = (x - 2)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(x-2)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

2. Наименьшее значение выражения $(x-2)^2$ равно 0 и достигается при $x=2$.

3. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 1 = 1$. Для всех остальных значений $x$ значение $y$ будет строго больше 1. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $y \ge 1$.

Поскольку наименьшее значение функции равно 1, а $1 > 0$, то все значения ординаты $y$ для любой точки графика являются положительными. Это доказывает, что все точки графика данной функции расположены выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в верхней полуплоскости.

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = (x - 2)^2 + 1$ путем выделения полного квадрата. Так как выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно ($(x - 2)^2 \ge 0$), то наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 1 = 1$. Поскольку минимальное значение функции положительно ($1 > 0$), все значения $y$ также положительны. Следовательно, все точки графика функции расположены в верхней полуплоскости, что и требовалось доказать.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.