Номер 1092, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1092, страница 216.

Условие.

1092. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{у} + 8(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) = 7\mathrm{х} - 12 ,\\ 9\mathrm{х} + 3(\mathrm{х} - 9\mathrm{у}) = 11\mathrm{у} + 46;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}-2(\mathrm{а} - \mathrm{b}) + 16 = 3(\mathrm{b} + 7),\\ 6\mathrm{a} - (\mathrm{a} - 5) = -8 - (\mathrm{b} + 1).\end{array}\right.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{у} + 8(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) = 7\mathrm{х} - 12 ,\\ 9\mathrm{х} + 3(\mathrm{х} - 9\mathrm{у}) = 11\mathrm{у} + 46;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{y}+8\mathrm{x}-24\mathrm{y}=7\mathrm{x}-12;\\ 9\mathrm{x}+3\mathrm{x}-27\mathrm{y}=11\mathrm{y}+46;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}8\mathrm{x}-19\mathrm{y}-7\mathrm{x}=-12;\\ 12\mathrm{x}-27\mathrm{y}-11\mathrm{y}=46;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-19\mathrm{y}=-12;\\ 12\mathrm{x}-38\mathrm{y}=46;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=19\mathrm{y}-12;\\ 12(19\mathrm{y}-12)-38\mathrm{y}=46;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=19\mathrm{y}-12;\\ 228\mathrm{y}-144-38\mathrm{y}=46;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=19\mathrm{y}-12;\\ 190\mathrm{y}=46+144;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=19\mathrm{y}-12;\\ 190\mathrm{y}=190;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1;\\ \mathrm{x}=19·1-12;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1;\\ \mathrm{x}=7.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (7; 1).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}-2(\mathrm{а} - \mathrm{b}) + 16 = 3(\mathrm{b} + 7);\\ 6\mathrm{a} - (\mathrm{a} - 5) = -8 - (\mathrm{b} + 1);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2\mathrm{a}+2\mathrm{b}+16=3\mathrm{b}+21;\\ 6\mathrm{a}-\mathrm{a}+5=-8-\mathrm{b}-1;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2\mathrm{a}+2\mathrm{b}-3\mathrm{b}=21-16;\\ 5\mathrm{a}+\mathrm{b}=-9-5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2\mathrm{a}-\mathrm{b}=5;\\ 5\mathrm{a}+\mathrm{b}=-14;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2\mathrm{a}-5;\\ 5\mathrm{a}+(-2\mathrm{a}-5)=-14;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2\mathrm{a}-5;\\ 5\mathrm{a}-2\mathrm{a}-5=-14;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2\mathrm{a}-5;\\ 3\mathrm{a}=-14+5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2\mathrm{a}-5;\\ 3\mathrm{a}=-9;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-3;\\ \mathrm{b}=-2·(-3)-5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-3;\\ \mathrm{b}=6-5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-3;\\ \mathrm{b}=1.\end{array}\right.\right.$

Ответ: a = -3; b = 1.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5y + 8(x - 3y) = 7x - 12 \\ 9x + 3(x - 9y) = 11y + 46 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение в системе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$5y + 8 \cdot x - 8 \cdot 3y = 7x - 12$

$5y + 8x - 24y = 7x - 12$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую:

$8x - 7x + 5y - 24y = -12$

$x - 19y = -12$

Упростим второе уравнение:

$9x + 3 \cdot x - 3 \cdot 9y = 11y + 46$

$9x + 3x - 27y = 11y + 46$

$12x - 27y = 11y + 46$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую:

$12x - 27y - 11y = 46$

$12x - 38y = 46$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$6x - 19y = 23$

Теперь система уравнений имеет следующий вид:

$$ \begin{cases} x - 19y = -12 \\ 6x - 19y = 23 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:

$(6x - 19y) - (x - 19y) = 23 - (-12)$

$6x - 19y - x + 19y = 23 + 12$

$5x = 35$

$x = \frac{35}{5}$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в первое упрощенное уравнение ($x - 19y = -12$) для нахождения $y$:

$7 - 19y = -12$

$-19y = -12 - 7$

$-19y = -19$

$y = 1$

Ответ: $(7; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} -2(a - b) + 16 = 3(b + 7) \\ 6a - (a - 5) = -8 - (b + 1) \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы.

Упростим первое уравнение:

$-2a + 2b + 16 = 3b + 21$

$-2a + 2b - 3b = 21 - 16$

$-2a - b = 5$

Упростим второе уравнение:

$6a - a + 5 = -8 - b - 1$

$5a + 5 = -9 - b$

$5a + b = -9 - 5$

$5a + b = -14$

Теперь система уравнений имеет следующий вид:

$$ \begin{cases} -2a - b = 5 \\ 5a + b = -14 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(-2a - b) + (5a + b) = 5 + (-14)$

$-2a + 5a = -9$

$3a = -9$

$a = \frac{-9}{3}$

$a = -3$

Теперь подставим найденное значение $a = -3$ во второе упрощенное уравнение ($5a + b = -14$) для нахождения $b$:

$5(-3) + b = -14$

$-15 + b = -14$

$b = -14 + 15$

$b = 1$

Ответ: $(-3; 1)$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.