Номер 1093, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1093, страница 216.

Условие.

1093. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{3}-\frac{4}{2}=-4 /·6;\\ \frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{4}{2}=-2 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-24;\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4-\mathrm{y};\\ 2·(-4-\mathrm{y})-3\mathrm{y}=-24;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4-\mathrm{y};\\ -8-2\mathrm{y}-3\mathrm{y}=-24;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4-\mathrm{y};\\ -8-5\mathrm{y}=-24;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4-\mathrm{y};\\ 5\mathrm{y}=-8+24;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4-\mathrm{y};\\ 5\mathrm{y}=16;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{16}{5};\\ \mathrm{x}=-4-\frac{16}{5};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\frac{1}{5};\\ \mathrm{x}=\frac{-36}{5};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-7\frac{1}{5};\\ \mathrm{y}=3\frac{1}{5}.\end{array}\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(-7\frac{1}{5}; 3\frac{1}{5}\right)\mathbf{.}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{a}}{6}-2\mathrm{b}=6 /·6;\\ -3\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}=-37 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}-12\mathrm{b}=36;\\ -6\mathrm{a}+\mathrm{b}=-74;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=36+12\mathrm{b};\\ -6(36+12\mathrm{b})+\mathrm{b}=74;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=36+12\mathrm{b};\\ -216-72\mathrm{b}+\mathrm{b}=-74;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=36+12\mathrm{b};\\ -216-71\mathrm{b}=-74;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=36+12\mathrm{b};\\ 71\mathrm{b}=-216+74;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=36+12\mathrm{b};\\ 71\mathrm{b}=-142;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2;\\ \mathrm{a}=36+12·(-2);\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2;\\ \mathrm{a}=36-24;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{b}=-2;\\ \mathrm{a}=12.\end{array}\right.\right.$

Ответ: a=12; b=-2.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{2\mathrm{m}}{5}+\frac{\mathrm{n}}{3}=1 /·15;\\ \frac{\mathrm{m}}{10}-\frac{7\mathrm{n}}{6}=4 /·30;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3·2\mathrm{m}+5\mathrm{n}=15;\\ 3\mathrm{m}-5·7\mathrm{n}=120;\end{array} \left\{\begin{array}{l}6\mathrm{m}+5\mathrm{n}=15;\\ 3\mathrm{m}-35\mathrm{n}=120;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{m}=15-5\mathrm{n};\\ 3\mathrm{m}-35\mathrm{n}=120;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ 3·\frac{15-5\mathrm{n}}{6}-35\mathrm{n}=120;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ \frac{15-5\mathrm{n}}{2}-35\mathrm{n}=120 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ 15-5\mathrm{n}-70\mathrm{n}=240;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ 15-75\mathrm{n}=240;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ 75\mathrm{n}=15-240;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=\frac{15-5\mathrm{n}}{6};\\ 75\mathrm{n}=-225;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n}=-3;\\ \mathrm{m}=\frac{15-5·(-3)}{6};\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n}=-3;\\ \mathrm{m}=\frac{15+15}{6};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n}=-3;\\ \mathrm{m}=5.\end{array}\right.$

Ответ: m=5; n=-3.

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}7\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{y}}{5}=-4 /·5;\\ \mathrm{x}+\frac{2\mathrm{y}}{5}=-3 /·5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}35\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-20;\\ 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=-15;\end{array} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ 7·5\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-20;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ 7·(-15-2\mathrm{y})-3\mathrm{y}=-20;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ -105-14\mathrm{y}-3\mathrm{y}=-20;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ -105-17\mathrm{y}=-20;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ 17\mathrm{y}=-105+20;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ 17\mathrm{y}=-85;\end{array} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2\mathrm{y};\\ \mathrm{y}=-5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15-2·(-5);\\ \mathrm{y}=-5;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-15+10;\\ \mathrm{y}=-5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=-5;\\ \mathrm{y}=-5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1;\\ \mathrm{y}=-5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-1; -5).

Решение 2.

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2\end{cases}$Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), а второе уравнение на 2.$6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4) \implies 2x - 3y = -24$$2 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 2 \cdot (-2) \implies x + y = -4$Получаем новую систему:$\begin{cases}2x - 3y = -24 \\x + y = -4\end{cases}$Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3:$3 \cdot (x + y) = 3 \cdot (-4) \implies 3x + 3y = -12$Теперь сложим первое уравнение ($2x - 3y = -24$) и полученное третье ($3x + 3y = -12$):$(2x - 3y) + (3x + 3y) = -24 + (-12)$$5x = -36$$x = -\frac{36}{5} = -7.2$Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной упрощенной системы ($x + y = -4$):$-7.2 + y = -4$$y = -4 + 7.2$$y = 3.2$
Ответ: $x = -7.2, y = 3.2$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{a}{6} - 2b = 6 \\-3a + \frac{b}{2} = -37\end{cases}$Умножим первое уравнение на 6, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей:$6 \cdot (\frac{a}{6} - 2b) = 6 \cdot 6 \implies a - 12b = 36$$2 \cdot (-3a + \frac{b}{2}) = 2 \cdot (-37) \implies -6a + b = -74$Получаем систему:$\begin{cases}a - 12b = 36 \\-6a + b = -74\end{cases}$Решим систему методом подстановки. Выразим $a$ из первого уравнения:$a = 36 + 12b$Подставим это выражение во второе уравнение:$-6(36 + 12b) + b = -74$$-216 - 72b + b = -74$$-216 - 71b = -74$$-71b = -74 + 216$$-71b = 142$$b = \frac{142}{-71} = -2$Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение для $a$:$a = 36 + 12(-2) = 36 - 24 = 12$
Ответ: $a=12, b=-2$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases}\frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \\\frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4\end{cases}$Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3), а второе на 30 (наименьшее общее кратное для 10 и 6).$15 \cdot (\frac{2m}{5} + \frac{n}{3}) = 15 \cdot 1 \implies 3 \cdot 2m + 5 \cdot n = 15 \implies 6m + 5n = 15$$30 \cdot (\frac{m}{10} - \frac{7n}{6}) = 30 \cdot 4 \implies 3 \cdot m - 5 \cdot 7n = 120 \implies 3m - 35n = 120$Получаем систему:$\begin{cases}6m + 5n = 15 \\3m - 35n = 120\end{cases}$Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными:$-2 \cdot (3m - 35n) = -2 \cdot 120 \implies -6m + 70n = -240$Сложим первое уравнение ($6m + 5n = 15$) с полученным новым уравнением:$(6m + 5n) + (-6m + 70n) = 15 + (-240)$$75n = -225$$n = \frac{-225}{75} = -3$Подставим значение $n$ в первое упрощенное уравнение ($6m + 5n = 15$):$6m + 5(-3) = 15$$6m - 15 = 15$$6m = 30$$m = 5$
Ответ: $m=5, n=-3$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases}7x - \frac{3y}{5} = -4 \\x + \frac{2y}{5} = -3\end{cases}$Умножим оба уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей:$5 \cdot (7x - \frac{3y}{5}) = 5 \cdot (-4) \implies 35x - 3y = -20$$5 \cdot (x + \frac{2y}{5}) = 5 \cdot (-3) \implies 5x + 2y = -15$Получаем систему:$\begin{cases}35x - 3y = -20 \\5x + 2y = -15\end{cases}$Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:$2(35x - 3y) = 2(-20) \implies 70x - 6y = -40$$3(5x + 2y) = 3(-15) \implies 15x + 6y = -45$Сложим полученные уравнения:$(70x - 6y) + (15x + 6y) = -40 + (-45)$$85x = -85$$x = -1$Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение ($5x + 2y = -15$):$5(-1) + 2y = -15$$-5 + 2y = -15$$2y = -10$$y = -5$
Ответ: $x=-1, y=-5$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.