Номер 1100, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1100, страница 219.

Условие.

1100. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}40\mathrm{x}+3\mathrm{y}=10;\\ 20\mathrm{x}-7\mathrm{y}=5 /·(-2);\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}40\mathrm{x}+3\mathrm{y}=10;\\ -40\mathrm{x}+14\mathrm{y}=-10;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}17\mathrm{y}=0;\\ 20\mathrm{x}-7\mathrm{y}=5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=0;\\ 20\mathrm{x}=5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=0;\\ \mathrm{x}=\frac{5}{20};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=0;\\ \mathrm{x}=\frac{1}{4}.\end{array}\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(\frac{1}{4}; 0\right)\mathbf{.}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}-2\mathrm{y}=1 /·(-3);\\ 15\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-15\mathrm{x}+6\mathrm{y}=-3;\\ 15\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{y}=-6;\\ 5\mathrm{x}-2\mathrm{y}=1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 5\mathrm{x}-2·(-2)=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 5\mathrm{x}+4=1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 5\mathrm{x}=1-4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 5\mathrm{x}=-3;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ \mathrm{x}=-\frac{3}{5}.\end{array}\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{.}$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}33\mathrm{a}+42\mathrm{b}=10;\\ 9\mathrm{a}+14\mathrm{b}=4 /·(-3);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}33\mathrm{a}+42\mathrm{b}=10;\\ -27\mathrm{a}-42\mathrm{b}=-12;\end{array} \left\{\begin{array}{l}6\mathrm{a}=-2;\\ 9\mathrm{a}+14\mathrm{b}=4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{2}{6};\\ 9·\left(-\frac{2}{6}\right)+14\mathrm{b}=4;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{1}{3};\\ -3+14\mathrm{b}=4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{1}{3};\\ 14\mathrm{b}=4+3;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{1}{3};\\ 14\mathrm{b}=7;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{1}{3};\\ \mathrm{b}=\frac{1}{2}.\end{array}\right.\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{.}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}13\mathrm{x}-12\mathrm{y}=14;\\ 11\mathrm{x}-4=18\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}13\mathrm{x}-12\mathrm{y}=14 /·3;\\ 11\mathrm{x}-18\mathrm{y}=4 /·(-2);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}39\mathrm{x}-36\mathrm{y}=42;\\ -22\mathrm{x}+36\mathrm{y}=-8;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}17\mathrm{x}=34;\\ 13\mathrm{x}-12\mathrm{y}=14;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ 13·2-12\mathrm{y}=14;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ 26-12\mathrm{y}=14;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ 12\mathrm{y}=26-14;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ 12\mathrm{y}=12;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=1.\end{array}\right.$

Ответ: (2; 1).

$\mathbf{д}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}-9\mathrm{y}=8;\\ 21\mathrm{y}+15\mathrm{x}=0,5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}-9\mathrm{y}=8 /·7;\\ 15\mathrm{x}+21\mathrm{y}=0,5 /·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}70\mathrm{x}-63\mathrm{y}=56;\\ 45\mathrm{x}+63\mathrm{y}=1,5;\end{array}\left\{\begin{array}{l}115\mathrm{x}=57,5;\\ 10\mathrm{x}-9\mathrm{y}=8;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ 10·0,5-9\mathrm{y}=8;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ 5-9\mathrm{y}=8;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ 9\mathrm{y}=5-8;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ 9\mathrm{y}=-3;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ \mathrm{y}=-\frac{3}{9};\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0,5;\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}.\end{array}\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{;}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{.}$

$\mathbf{е}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}9\mathrm{y}+8\mathrm{z}=-2;\\ 5z=-4\mathrm{y}-11;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}9\mathrm{y}+8\mathrm{z}=-2 /·4;\\ 4\mathrm{y}+5\mathrm{z}=-11 /·(-9);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}36\mathrm{y}+32\mathrm{z}=-8;\\ -36\mathrm{y}-45\mathrm{z}=99;\end{array}\left\{\begin{array}{l}-13\mathrm{z}=91;\\ 9\mathrm{y}+8\mathrm{z}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=-7;\\ 9\mathrm{y}+8·(-7)=-2;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=-7;\\ 9\mathrm{y}-56=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=-7;\\ 9\mathrm{y}=-2+56;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=-7;\\ 9\mathrm{y}=54;\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=-7;\\ \mathrm{y}=6.\end{array}\right.$

Ответ: y = 6; z = -7.

Решение 2.

а) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 7y = 5 \end{cases} $Для решения системы воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали равными.$ 2 \cdot (20x - 7y) = 2 \cdot 5 $$ 40x - 14y = 10 $Теперь система выглядит так:$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 40x - 14y = 10 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (40x + 3y) - (40x - 14y) = 10 - 10 $$ 40x + 3y - 40x + 14y = 0 $$ 17y = 0 $$ y = 0 $Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:$ 20x - 7 \cdot 0 = 5 $$ 20x = 5 $$ x = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $Проверим решение, подставив значения в первое уравнение:$ 40 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 = 10 + 0 = 10 $. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{1}{4}; 0)$.

б) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ совпали.$ 3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot 1 $$ 15x - 6y = 3 $Получаем систему:$ \begin{cases} 15x - 6y = 3 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (15x - 6y) - (15x - 3y) = 3 - (-3) $$ 15x - 6y - 15x + 3y = 3 + 3 $$ -3y = 6 $$ y = -2 $Подставим значение $y = -2$ в первое исходное уравнение:$ 5x - 2 \cdot (-2) = 1 $$ 5x + 4 = 1 $$ 5x = 1 - 4 $$ 5x = -3 $$ x = -\frac{3}{5} $Проверим, подставив значения во второе уравнение:$ 15 \cdot (-\frac{3}{5}) - 3 \cdot (-2) = -9 + 6 = -3 $. Равенство верно.
Ответ: $(-\frac{3}{5}; -2)$.

в) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 9a + 14b = 4 \end{cases} $Заметим, что $42b = 3 \cdot 14b$. Умножим второе уравнение на 3:$ 3 \cdot (9a + 14b) = 3 \cdot 4 $$ 27a + 42b = 12 $Получаем систему:$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 27a + 42b = 12 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (33a + 42b) - (27a + 42b) = 10 - 12 $$ 6a = -2 $$ a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $Подставим $a = -\frac{1}{3}$ во второе исходное уравнение:$ 9 \cdot (-\frac{1}{3}) + 14b = 4 $$ -3 + 14b = 4 $$ 14b = 7 $$ b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $Проверим, подставив значения в первое уравнение:$ 33 \cdot (-\frac{1}{3}) + 42 \cdot \frac{1}{2} = -11 + 21 = 10 $. Равенство верно.
Ответ: $(-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.

г) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:$ 11x - 18y = 4 $Система примет вид:$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 18y = 4 \end{cases} $Чтобы уравнять коэффициенты при $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:$ 3 \cdot (13x - 12y) = 3 \cdot 14 \implies 39x - 36y = 42 $$ 2 \cdot (11x - 18y) = 2 \cdot 4 \implies 22x - 36y = 8 $Система:$ \begin{cases} 39x - 36y = 42 \\ 22x - 36y = 8 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (39x - 36y) - (22x - 36y) = 42 - 8 $$ 17x = 34 $$ x = 2 $Подставим $x=2$ в уравнение $11x - 18y = 4$:$ 11 \cdot 2 - 18y = 4 $$ 22 - 18y = 4 $$ 18 = 18y $$ y = 1 $Проверим, подставив значения в первое исходное уравнение:$ 13 \cdot 2 - 12 \cdot 1 = 26 - 12 = 14 $. Равенство верно.
Ответ: $(2; 1)$.

д) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0,5 \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ 15x + 21y = 0,5 $Система примет вид:$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 15x + 21y = 0,5 \end{cases} $Для удобства умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $30x + 42y = 1$.Теперь умножим первое уравнение на 3: $3 \cdot (10x - 9y) = 3 \cdot 8 \implies 30x - 27y = 24$.Система:$ \begin{cases} 30x - 27y = 24 \\ 30x + 42y = 1 \end{cases} $Вычтем из второго уравнения первое:$ (30x + 42y) - (30x - 27y) = 1 - 24 $$ 42y + 27y = -23 $$ 69y = -23 $$ y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} $Подставим $y = -\frac{1}{3}$ в первое исходное уравнение:$ 10x - 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = 8 $$ 10x + 3 = 8 $$ 10x = 5 $$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $Проверим, подставив значения во второе исходное уравнение:$ 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 15 \cdot \frac{1}{2} = -7 + 7,5 = 0,5 $. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{3})$.

е) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ 4y + 5z = -11 $Система примет вид:$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 4y + 5z = -11 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 5, а второе на 8, чтобы уравнять коэффициенты при $z$:$ 5 \cdot (9y + 8z) = 5 \cdot (-2) \implies 45y + 40z = -10 $$ 8 \cdot (4y + 5z) = 8 \cdot (-11) \implies 32y + 40z = -88 $Система:$ \begin{cases} 45y + 40z = -10 \\ 32y + 40z = -88 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (45y + 40z) - (32y + 40z) = -10 - (-88) $$ 13y = 78 $$ y = 6 $Подставим $y=6$ во второе преобразованное уравнение $4y + 5z = -11$:$ 4 \cdot 6 + 5z = -11 $$ 24 + 5z = -11 $$ 5z = -11 - 24 $$ 5z = -35 $$ z = -7 $Проверим, подставив значения в первое исходное уравнение:$ 9 \cdot 6 + 8 \cdot (-7) = 54 - 56 = -2 $. Равенство верно.
Ответ: $(6; -7)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.