Номер 1102, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1102, страница 220.

1102. Найдите решение системы уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,75x + 20y = 95 \\ 0,32x - 25y = 7 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4.

$ \begin{cases} 5(0,75x + 20y) = 5 \cdot 95 \\ 4(0,32x - 25y) = 4 \cdot 7 \end{cases} $

Выполнив умножение, получаем новую систему:

$ \begin{cases} 3,75x + 100y = 475 \\ 1,28x - 100y = 28 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$ (3,75x + 1,28x) + (100y - 100y) = 475 + 28 $

$ 5,03x = 503 $

$ x = \frac{503}{5,03} $

$ x = 100 $

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$ 0,75 \cdot 100 + 20y = 95 $

$ 75 + 20y = 95 $

$ 20y = 95 - 75 $

$ 20y = 20 $

$ y = 1 $

Ответ: $x=100, y=1$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,5u - 0,6v = 0 \\ 0,4u + 1,7v = 10,9 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:

$ 0,5u = 0,6v $

$ u = \frac{0,6v}{0,5} $

$ u = 1,2v $

Подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:

$ 0,4(1,2v) + 1,7v = 10,9 $

$ 0,48v + 1,7v = 10,9 $

$ 2,18v = 10,9 $

$ v = \frac{10,9}{2,18} $

$ v = 5 $

Теперь найдем значение $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1,2v$:

$ u = 1,2 \cdot 5 $

$ u = 6 $

Ответ: $u=6, v=5$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 10x = 4,6 + 3y \\ 4y + 3,2y = 6x \end{cases} $

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $10x - 3y = 4,6$.

Второе уравнение: $7,2y = 6x$, или $6x - 7,2y = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 10x - 3y = 4,6 \\ 6x - 7,2y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$ 6x = 7,2y $

$ x = \frac{7,2y}{6} $

$ x = 1,2y $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 10(1,2y) - 3y = 4,6 $

$ 12y - 3y = 4,6 $

$ 9y = 4,6 $

$ y = \frac{4,6}{9} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} $

Теперь найдем $x$:

$ x = 1,2y = \frac{12}{10} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6}{5} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6 \cdot 23}{5 \cdot 45} = \frac{2 \cdot 23}{5 \cdot 15} = \frac{46}{75} $

Ответ: $x = \frac{46}{75}, y = \frac{23}{45}$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -3b + 10a - 0,1 = 0 \\ 15a + 4b - 2,7 = 0 \end{cases} $

Приведем уравнения к стандартному виду $Aa + Bb = C$:

$ \begin{cases} 10a - 3b = 0,1 \\ 15a + 4b = 2,7 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 4(10a - 3b) = 4 \cdot 0,1 \\ 3(15a + 4b) = 3 \cdot 2,7 \end{cases} $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 40a - 12b = 0,4 \\ 45a + 12b = 8,1 \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$ (40a + 45a) + (-12b + 12b) = 0,4 + 8,1 $

$ 85a = 8,5 $

$ a = \frac{8,5}{85} $

$ a = 0,1 $

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $10a - 3b = 0,1$, чтобы найти $b$:

$ 10 \cdot 0,1 - 3b = 0,1 $

$ 1 - 3b = 0,1 $

$ 3b = 1 - 0,1 $

$ 3b = 0,9 $

$ b = \frac{0,9}{3} $

$ b = 0,3 $

Ответ: $a=0,1, b=0,3$.