Номер 1102, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1102, страница 220.

Условие.

1102. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}0,75\mathrm{x}+20\mathrm{y}=95 /·5;\\ 0,32\mathrm{x}-25\mathrm{y}=7 /·4;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}3,75\mathrm{x}+100\mathrm{y}=475;\\ 1,28\mathrm{x}-100\mathrm{y}=28;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}5,03\mathrm{x}=503;\\ 0,32\mathrm{x}-25\mathrm{y}=7;\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=100;\\ 0,32·100-25\mathrm{y}=7;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=100;\\ 32-25\mathrm{y}=7;\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=100;\\ 25\mathrm{y}=25;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=100;\\ \mathrm{y}=1.\end{array}\right.$

Ответ: (100; 1).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}0,5\mathrm{u}-0,6\mathrm{v}=0 /·1,7;\\ 0,4\mathrm{u}+1,7\mathrm{v}=10,9 /·0,6;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}0,85\mathrm{u}-1,02\mathrm{v}=0;\\ 0,24\mathrm{u}+1,02\mathrm{v}=6,54;\end{array}\left\{\begin{array}{c}1,09\mathrm{u}=6,54;\\ 0,5\mathrm{u}-0,6\mathrm{v}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=6;\\ 0,5·6-0,6\mathrm{v}=0;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=6;\\ 3-0,6\mathrm{v}=0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=6;\\ 0,6\mathrm{v}=3;\end{array}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=6;\\ \mathrm{v}=5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: u = 6; v = 5.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}=4,6+3\mathrm{y};\\ 4\mathrm{y}+3,2\mathrm{y}=6\mathrm{x};\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}-3\mathrm{y}=4,6;\\ -6\mathrm{x}+4\mathrm{y}\ne 3,2\mathrm{y}=0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}-3\mathrm{y}=4,6 /·3;\\ -6\mathrm{x}+7,2\mathrm{y}=0 /·5;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}30\mathrm{x}-9\mathrm{y}=13,8;\\ -30\mathrm{x}+36\mathrm{y}=0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}27\mathrm{y}=13,8;\\ -6\mathrm{x}+7,2\mathrm{y}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{13,8}{27};\\ -6\mathrm{x}+7,2·\frac{13,8}{27}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{138}{270};\\ -6\mathrm{x}+7,2·\frac{138}{270}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{23}{45};\\ -6\mathrm{x}+\frac{72}{10}·\frac{23}{45}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{23}{45};\\ -6\mathrm{x}=-\frac{184}{50};\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{23}{45};\\ \mathrm{x}=\frac{184}{50·6};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{23}{45};\\ \mathrm{x}=\frac{184}{300};\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{23}{45};\\ \mathrm{x}=\frac{46}{75}.\end{array}\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(\frac{46}{75}; \frac{23}{45}\right)\mathbf{.}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}-3\mathrm{b}+10\mathrm{a}-0,1=0;\\ 15\mathrm{a}+4\mathrm{b}-2,7=0;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}10\mathrm{a}-3\mathrm{b}=0,1 /·4;\\ 15\mathrm{a}+4\mathrm{b}=2,7 /·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}40\mathrm{a}-12\mathrm{b}=0,4;\\ 45\mathrm{a}+12\mathrm{b}=8,1;\end{array}\left\{\begin{array}{c}85\mathrm{a}=8,5;\\ 10\mathrm{a}-3\mathrm{b}=0,1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=0,1;\\ 10·0,1-3\mathrm{b}=0,1;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=0,1;\\ 1-3\mathrm{b}=0,1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=0,1;\\ 3\mathrm{b}=0,9;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=0,1;\\ \mathrm{b}=0,3.\end{array}\right.\right.$

Ответ: a = 0,1; b = 0,3.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,75x + 20y = 95 \\ 0,32x - 25y = 7 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4.

$ \begin{cases} 5(0,75x + 20y) = 5 \cdot 95 \\ 4(0,32x - 25y) = 4 \cdot 7 \end{cases} $

Выполнив умножение, получаем новую систему:

$ \begin{cases} 3,75x + 100y = 475 \\ 1,28x - 100y = 28 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$ (3,75x + 1,28x) + (100y - 100y) = 475 + 28 $

$ 5,03x = 503 $

$ x = \frac{503}{5,03} $

$ x = 100 $

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$ 0,75 \cdot 100 + 20y = 95 $

$ 75 + 20y = 95 $

$ 20y = 95 - 75 $

$ 20y = 20 $

$ y = 1 $

Ответ: $x=100, y=1$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,5u - 0,6v = 0 \\ 0,4u + 1,7v = 10,9 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:

$ 0,5u = 0,6v $

$ u = \frac{0,6v}{0,5} $

$ u = 1,2v $

Подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:

$ 0,4(1,2v) + 1,7v = 10,9 $

$ 0,48v + 1,7v = 10,9 $

$ 2,18v = 10,9 $

$ v = \frac{10,9}{2,18} $

$ v = 5 $

Теперь найдем значение $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1,2v$:

$ u = 1,2 \cdot 5 $

$ u = 6 $

Ответ: $u=6, v=5$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 10x = 4,6 + 3y \\ 4y + 3,2y = 6x \end{cases} $

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $10x - 3y = 4,6$.

Второе уравнение: $7,2y = 6x$, или $6x - 7,2y = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 10x - 3y = 4,6 \\ 6x - 7,2y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$ 6x = 7,2y $

$ x = \frac{7,2y}{6} $

$ x = 1,2y $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 10(1,2y) - 3y = 4,6 $

$ 12y - 3y = 4,6 $

$ 9y = 4,6 $

$ y = \frac{4,6}{9} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} $

Теперь найдем $x$:

$ x = 1,2y = \frac{12}{10} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6}{5} \cdot \frac{23}{45} = \frac{6 \cdot 23}{5 \cdot 45} = \frac{2 \cdot 23}{5 \cdot 15} = \frac{46}{75} $

Ответ: $x = \frac{46}{75}, y = \frac{23}{45}$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -3b + 10a - 0,1 = 0 \\ 15a + 4b - 2,7 = 0 \end{cases} $

Приведем уравнения к стандартному виду $Aa + Bb = C$:

$ \begin{cases} 10a - 3b = 0,1 \\ 15a + 4b = 2,7 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 4(10a - 3b) = 4 \cdot 0,1 \\ 3(15a + 4b) = 3 \cdot 2,7 \end{cases} $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 40a - 12b = 0,4 \\ 45a + 12b = 8,1 \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$ (40a + 45a) + (-12b + 12b) = 0,4 + 8,1 $

$ 85a = 8,5 $

$ a = \frac{8,5}{85} $

$ a = 0,1 $

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $10a - 3b = 0,1$, чтобы найти $b$:

$ 10 \cdot 0,1 - 3b = 0,1 $

$ 1 - 3b = 0,1 $

$ 3b = 1 - 0,1 $

$ 3b = 0,9 $

$ b = \frac{0,9}{3} $

$ b = 0,3 $

Ответ: $a=0,1, b=0,3$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.