Номер 1108, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1108, страница 220.

1108. Решите систему уравнений:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}5(\mathrm{х} + 2\mathrm{у}) - 3 = \mathrm{х} + 5,\\ \mathrm{у} + 4(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) = 50;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}2,5(\mathrm{х} - 3\mathrm{у}) - 3 = -3\mathrm{х} + 0,5,\\ 3(\mathrm{х} + 6\mathrm{у}) + 4 = 9\mathrm{у} + 19.\end{array}\right.$

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 5(x+2y) - 3 = x+5, \\ y + 4(x-3y) = 50; \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$5x + 10y - 3 = x + 5$

Перенесем переменные в левую часть, а константы — в правую:

$5x - x + 10y = 5 + 3$

$4x + 10y = 8$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$2x + 5y = 4$

Теперь упростим второе уравнение:

$y + 4x - 12y = 50$

$4x - 11y = 50$

В результате мы получили более простую систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 4 \\ 4x - 11y = 50 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$-2(2x + 5y) = -2(4)$

$-4x - 10y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-4x - 10y) + (4x - 11y) = -8 + 50$

$-21y = 42$

$y = \frac{42}{-21}$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $2x + 5y = 4$:

$2x + 5(-2) = 4$

$2x - 10 = 4$

$2x = 14$

$x = 7$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(7; -2)$.

Ответ: $(7; -2)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2,5(x-3y) - 3 = -3x+0,5, \\ 3(x+6y) + 4 = 9y+19; \end{cases}$

Упростим оба уравнения системы.

Упростим первое уравнение. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе его части на 2:

$2 \cdot (2,5(x-3y) - 3) = 2 \cdot (-3x+0,5)$

$5(x-3y) - 6 = -6x + 1$

$5x - 15y - 6 = -6x + 1$

Перенесем переменные влево, а константы вправо:

$5x + 6x - 15y = 1 + 6$

$11x - 15y = 7$

Теперь упростим второе уравнение:

$3x + 18y + 4 = 9y + 19$

$3x + 18y - 9y = 19 - 4$

$3x + 9y = 15$

Разделим все члены уравнения на 3:

$x + 3y = 5$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 11x - 15y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$11(5 - 3y) - 15y = 7$

$55 - 33y - 15y = 7$

$55 - 48y = 7$

$-48y = 7 - 55$

$-48y = -48$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=1$ в выражение $x = 5 - 3y$:

$x = 5 - 3(1)$

$x = 2$

Следовательно, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.