Номер 1110, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1110, страница 220.

1110. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем константу в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю 12, умножив обе части уравнения на 12: $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 $$ $$ 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{y}{4} = 12 \cdot 5 $$ $$ 4x + 3y = 60 $$

Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 60, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения: $$ -y = 10 - 2x \implies y = 2x - 10 $$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 4x + 3(2x - 10) = 60 $$ $$ 4x + 6x - 30 = 60 $$ $$ 10x = 90 $$ $$ x = 9 $$

Найдем значение $y$, подставив $x = 9$ в выражение $y = 2x - 10$: $$ y = 2 \cdot 9 - 10 = 18 - 10 = 8 $$

Ответ: $(9; 8)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 7y = 4, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0; \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 6: $$ 6 \cdot \left(\frac{x}{6} - \frac{y}{6}\right) = 6 \cdot 0 $$ $$ x - y = 0 \implies x = y $$

Подставим $x = y$ в первое уравнение системы: $$ 2y - 7y = 4 $$ $$ -5y = 4 $$ $$ y = -\frac{4}{5} $$

Так как $x = y$, то $x$ также равен $-\frac{4}{5}$.

Ответ: $(-\frac{4}{5}; -\frac{4}{5})$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 3 и 2): $$ 6 \cdot \frac{2x}{3} - 6 \cdot \frac{y}{2} = 6 \cdot 0 $$ $$ 4x - 3y = 0 $$

Во втором уравнении раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3x - 3 - 9 = 1 - y $$ $$ 3x - 12 = 1 - y $$ $$ 3x + y = 13 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + y = 13; \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 13 - 3x $$

Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 4x - 3(13 - 3x) = 0 $$ $$ 4x - 39 + 9x = 0 $$ $$ 13x = 39 $$ $$ x = 3 $$

Найдем $y$: $$ y = 13 - 3 \cdot 3 = 13 - 9 = 4 $$

Ответ: $(3; 4)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на 6: $$ 6 \cdot \frac{5x}{6} - 6 \cdot y = 6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) $$ $$ 5x - 6y = -5 $$

Умножим второе уравнение на 3: $$ 3 \cdot \frac{2x}{3} + 3 \cdot 3y = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ 2x + 9y = -2 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 5x - 6y = -5, \\ 2x + 9y = -2; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 3(5x - 6y) = 3(-5) \\ 2(2x + 9y) = 2(-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 18y = -15, \\ 4x + 18y = -4; \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $$ (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 + (-4) $$ $$ 19x = -19 $$ $$ x = -1 $$

Подставим $x = -1$ во второе упрощенное уравнение ($2x + 9y = -2$): $$ 2(-1) + 9y = -2 $$ $$ -2 + 9y = -2 $$ $$ 9y = 0 $$ $$ y = 0 $$

Ответ: $(-1; 0)$.