Номер 1110, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1110, страница 220.

Условие.

1110. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{3}+\frac{\mathrm{y}}{4}-5=0 /·12;\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=10;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=60;\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=10 /·3;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=60;\\ 6\mathrm{x}-3\mathrm{y}=30;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}10\mathrm{x}=90;\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=10;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9;\\ 2·9-\mathrm{y}=10;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9;\\ 18-\mathrm{y}=10;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9;\\ \mathrm{y}=8.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (9; 8).

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-7\mathrm{y}=4;\\ \frac{\mathrm{x}}{6}-\frac{\mathrm{y}}{6}=0 /·6;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-7\mathrm{y}=4;\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0 /·(-2);\end{array}\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-7\mathrm{y}=4;\\ -2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-5\mathrm{y}=4;\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-0,8;\\ \mathrm{x}-(-0,8)=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-0,8;\\ \mathrm{x}+0,8=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-0,8;\\ \mathrm{x}=-0,8.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-0,8; -0,8).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{2\mathrm{x}}{3}-\frac{\mathrm{y}}{2}=0 /·6;\\ 3(\mathrm{x}-1)-9=1-\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0;\\ 3\mathrm{x}-3-9+\mathrm{y}=1;\end{array}\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0;\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=1+3+9;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0;\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=13 /·3;\end{array}\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0;\\ 9\mathrm{x}+3\mathrm{y}=39;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}13\mathrm{x}=39;\\ 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ 4·3-3\mathrm{y}=0;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ 12-3\mathrm{y}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ 3\mathrm{y}=12;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ \mathrm{y}=4.\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: (3; 4).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{5\mathrm{x}}{6}-\mathrm{y}=-\frac{5}{6} /·6;\\ \frac{2\mathrm{x}}{3}+3\mathrm{y}=-\frac{2}{3} /·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}-6\mathrm{y}=-5 /·3;\\ 2\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-2 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}15\mathrm{x}-18\mathrm{y}=-15;\\ 4\mathrm{x}+18\mathrm{y}=-4;\end{array}\left\{\begin{array}{l}19\mathrm{x}=-19;\\ 2\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1;\\ 2·(-1)+9\mathrm{y}=-2;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1;\\ -2+9\mathrm{y}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1;\\ 9\mathrm{y}=0;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1;\\ \mathrm{y}=0.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-1; 0).

Решение 2.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем константу в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю 12, умножив обе части уравнения на 12: $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 $$ $$ 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{y}{4} = 12 \cdot 5 $$ $$ 4x + 3y = 60 $$

Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 60, \\ 2x - y = 10; \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения: $$ -y = 10 - 2x \implies y = 2x - 10 $$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 4x + 3(2x - 10) = 60 $$ $$ 4x + 6x - 30 = 60 $$ $$ 10x = 90 $$ $$ x = 9 $$

Найдем значение $y$, подставив $x = 9$ в выражение $y = 2x - 10$: $$ y = 2 \cdot 9 - 10 = 18 - 10 = 8 $$

Ответ: $(9; 8)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 7y = 4, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0; \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 6: $$ 6 \cdot \left(\frac{x}{6} - \frac{y}{6}\right) = 6 \cdot 0 $$ $$ x - y = 0 \implies x = y $$

Подставим $x = y$ в первое уравнение системы: $$ 2y - 7y = 4 $$ $$ -5y = 4 $$ $$ y = -\frac{4}{5} $$

Так как $x = y$, то $x$ также равен $-\frac{4}{5}$.

Ответ: $(-\frac{4}{5}; -\frac{4}{5})$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 3 и 2): $$ 6 \cdot \frac{2x}{3} - 6 \cdot \frac{y}{2} = 6 \cdot 0 $$ $$ 4x - 3y = 0 $$

Во втором уравнении раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3x - 3 - 9 = 1 - y $$ $$ 3x - 12 = 1 - y $$ $$ 3x + y = 13 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + y = 13; \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 13 - 3x $$

Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 4x - 3(13 - 3x) = 0 $$ $$ 4x - 39 + 9x = 0 $$ $$ 13x = 39 $$ $$ x = 3 $$

Найдем $y$: $$ y = 13 - 3 \cdot 3 = 13 - 9 = 4 $$

Ответ: $(3; 4)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}; \end{cases} $$

Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на 6: $$ 6 \cdot \frac{5x}{6} - 6 \cdot y = 6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) $$ $$ 5x - 6y = -5 $$

Умножим второе уравнение на 3: $$ 3 \cdot \frac{2x}{3} + 3 \cdot 3y = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ 2x + 9y = -2 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} 5x - 6y = -5, \\ 2x + 9y = -2; \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 3(5x - 6y) = 3(-5) \\ 2(2x + 9y) = 2(-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 18y = -15, \\ 4x + 18y = -4; \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $$ (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 + (-4) $$ $$ 19x = -19 $$ $$ x = -1 $$

Подставим $x = -1$ во второе упрощенное уравнение ($2x + 9y = -2$): $$ 2(-1) + 9y = -2 $$ $$ -2 + 9y = -2 $$ $$ 9y = 0 $$ $$ y = 0 $$

Ответ: $(-1; 0)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.