Номер 1112, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1112, страница 221.

1112. Имеет ли решения система уравнений и сколько:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x} - \mathrm{y} = 1,\\ -6\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = 2;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}-5\mathrm{x} + 2\mathrm{у} = 7,\\ 15\mathrm{x} - 6\mathrm{y} =-21?\end{array}\right.$

а) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2 \end{cases} $
Для анализа количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ можно сравнить отношения коэффициентов.
Найдем отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $
Отношение свободных членов: $ \frac{1}{2} $
Так как $ \frac{2}{-6} = \frac{-1}{3} \neq \frac{1}{2} $, то есть отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов, система не имеет решений. Графически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны и не совпадают.
Также можно решить систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$ y = 2x - 1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ -6x + 3(2x - 1) = 2 $
$ -6x + 6x - 3 = 2 $
$ -3 = 2 $
Получено неверное равенство, которое не зависит от переменных. Это означает, что система несовместна.
Ответ: система не имеет решений.

б) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $
Отношение свободных членов: $ \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3} $
Так как $ \frac{-5}{15} = \frac{2}{-6} = \frac{7}{-21} $, то есть все три отношения равны, система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, совпадают.
Также можно заметить, что если второе уравнение разделить на -3, мы получим первое уравнение:
$ (15x - 6y) : (-3) = -21 : (-3) $
$ -5x + 2y = 7 $
Так как оба уравнения в системе по сути одинаковы, любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению, будет удовлетворять и второму. Следовательно, решений бесконечно много.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.