Номер 1111, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1111, страница 221.

Условие.

1111. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}\mathrm{x}-\frac{1}{12}\mathrm{y}=4 /·12;\\ 6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=150;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-\mathrm{y}=48 /·5;\\ 6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=150;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}20\mathrm{x}-5\mathrm{y}=240;\\ 6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=150;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}26\mathrm{x}=390;\\ 6\mathrm{x}+5\mathrm{y}=150;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15;\\ 6·15+5\mathrm{y}=150;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15;\\ 90+5\mathrm{y}=150;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15;\\ 5\mathrm{y}=150-90;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15;\\ 5\mathrm{y}=60;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=15;\\ \mathrm{y}=12.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (15; 12).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}\mathrm{v}-\frac{1}{8}\mathrm{u}=3 /·24;\\ 7\mathrm{u}+9\mathrm{v}=-2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}8\mathrm{v}-3\mathrm{u}=72 /·7;\\ 9\mathrm{v}+7\mathrm{u}=-2 /·3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}56\mathrm{v}-21\mathrm{u}=504;\\ 27\mathrm{v}+21\mathrm{u}=-6;\end{array}\left\{\begin{array}{l}83\mathrm{v}=498;\\ 7\mathrm{u}+9\mathrm{v}=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=6;\\ 7\mathrm{u}+9·6=-2;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=6;\\ 7\mathrm{u}+54=-2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=6;\\ 7\mathrm{u}=-2-54;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=6;\\ 7\mathrm{u}=-56;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{v}=6;\\ \mathrm{u}=-8.\end{array}\right.$

Ответ: u = -8; v = 6.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{4}+\frac{\mathrm{y}}{6}=1 /·12;\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-12;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=12 /·3;\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-12 /·(-2);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}9\mathrm{x}+6\mathrm{y}=36;\\ -4\mathrm{x}-6\mathrm{y}=24;\end{array}\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=60;\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-12;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12;\\ 2·12+3\mathrm{y}=-12;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12;\\ 24+3\mathrm{y}=-12;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12;\\ 3\mathrm{y}=-12-24;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12;\\ 3\mathrm{y}=-36;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12;\\ \mathrm{y}=-12.\end{array}\right.$

Ответ: (12; -12).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a}-5\mathrm{b}-10=0;\\ \frac{\mathrm{a}}{5}-\frac{\mathrm{b}}{3}+\frac{1}{3}=0 /·15;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a}-5\mathrm{b}=10;\\ 3\mathrm{a}-5\mathrm{b}=-5 /·(-1);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a}-5\mathrm{b}=10;\\ -3\mathrm{a}+5\mathrm{b}=5;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=15;\\ 4·15-5\mathrm{b}=10;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=15;\\ 60-5\mathrm{b}=10;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=15;\\ 5\mathrm{b}=50;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=15;\\ \mathrm{b}=10.\end{array}\right.$

Ответ: a = 15; b = 10.

Решение 2.

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y = 4 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, умножив его на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 12), чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y) = 12 \cdot 4$

$4x - y = 48$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - y = 48 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4x - 48$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$6x + 5(4x - 48) = 150$

$6x + 20x - 240 = 150$

$26x = 150 + 240$

$26x = 390$

$x = \frac{390}{26}$

$x = 15$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=15$ в выражение $y = 4x - 48$:

$y = 4 \cdot 15 - 48 = 60 - 48 = 12$

Ответ: $(15; 12)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u = 3 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на 24 (наименьшее общее кратное для 3 и 8):

$24 \cdot (\frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u) = 24 \cdot 3$

$8v - 3u = 72$

Перепишем систему, расположив переменные в одном порядке:

$\begin{cases} -3u + 8v = 72 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $u$ стали противоположными:

$\begin{cases} 7(-3u + 8v) = 7 \cdot 72 \\ 3(7u + 9v) = 3 \cdot (-2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -21u + 56v = 504 \\ 21u + 27v = -6 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(-21u + 56v) + (21u + 27v) = 504 + (-6)$

$83v = 498$

$v = \frac{498}{83} = 6$

Подставим найденное значение $v=6$ в уравнение $7u + 9v = -2$:

$7u + 9 \cdot 6 = -2$

$7u + 54 = -2$

$7u = -56$

$u = -8$

Ответ: $u=-8, v=6$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 4 и 6):

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{6}) = 12 \cdot 1$

$3x + 2y = 12$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3:

$\begin{cases} 2(3x + 2y) = 2 \cdot 12 \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot (-12) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x + 4y = 24 \\ -6x - 9y = 36 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6x + 4y) + (-6x - 9y) = 24 + 36$

$-5y = 60$

$y = -12$

Подставим $y=-12$ в уравнение $3x + 2y = 12$:

$3x + 2(-12) = 12$

$3x - 24 = 12$

$3x = 36$

$x = 12$

Ответ: $(12; -12)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0 \\ \frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3} = 0 \end{cases}$

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax+By=C$.

Первое уравнение: $4a - 5b = 10$.

Второе уравнение: $\frac{a}{5} - \frac{b}{3} = -\frac{1}{3}$. Умножим его на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):

$15 \cdot (\frac{a}{5} - \frac{b}{3}) = 15 \cdot (-\frac{1}{3})$

$3a - 5b = -5$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 4a - 5b = 10 \\ 3a - 5b = -5 \end{cases}$

Для решения вычтем второе уравнение из первого:

$(4a - 5b) - (3a - 5b) = 10 - (-5)$

$4a - 5b - 3a + 5b = 10 + 5$

$a = 15$

Подставим $a=15$ в уравнение $3a - 5b = -5$:

$3 \cdot 15 - 5b = -5$

$45 - 5b = -5$

$-5b = -5 - 45$

$-5b = -50$

$b = 10$

Ответ: $a=15, b=10$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.