Страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1111. Найдите решение системы уравнений:

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y = 4 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, умножив его на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 12), чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y) = 12 \cdot 4$

$4x - y = 48$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - y = 48 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4x - 48$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$6x + 5(4x - 48) = 150$

$6x + 20x - 240 = 150$

$26x = 150 + 240$

$26x = 390$

$x = \frac{390}{26}$

$x = 15$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=15$ в выражение $y = 4x - 48$:

$y = 4 \cdot 15 - 48 = 60 - 48 = 12$

Ответ: $(15; 12)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u = 3 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на 24 (наименьшее общее кратное для 3 и 8):

$24 \cdot (\frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u) = 24 \cdot 3$

$8v - 3u = 72$

Перепишем систему, расположив переменные в одном порядке:

$\begin{cases} -3u + 8v = 72 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $u$ стали противоположными:

$\begin{cases} 7(-3u + 8v) = 7 \cdot 72 \\ 3(7u + 9v) = 3 \cdot (-2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -21u + 56v = 504 \\ 21u + 27v = -6 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(-21u + 56v) + (21u + 27v) = 504 + (-6)$

$83v = 498$

$v = \frac{498}{83} = 6$

Подставим найденное значение $v=6$ в уравнение $7u + 9v = -2$:

$7u + 9 \cdot 6 = -2$

$7u + 54 = -2$

$7u = -56$

$u = -8$

Ответ: $u=-8, v=6$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 4 и 6):

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{6}) = 12 \cdot 1$

$3x + 2y = 12$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3:

$\begin{cases} 2(3x + 2y) = 2 \cdot 12 \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot (-12) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x + 4y = 24 \\ -6x - 9y = 36 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6x + 4y) + (-6x - 9y) = 24 + 36$

$-5y = 60$

$y = -12$

Подставим $y=-12$ в уравнение $3x + 2y = 12$:

$3x + 2(-12) = 12$

$3x - 24 = 12$

$3x = 36$

$x = 12$

Ответ: $(12; -12)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0 \\ \frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3} = 0 \end{cases}$

Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax+By=C$.

Первое уравнение: $4a - 5b = 10$.

Второе уравнение: $\frac{a}{5} - \frac{b}{3} = -\frac{1}{3}$. Умножим его на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):

$15 \cdot (\frac{a}{5} - \frac{b}{3}) = 15 \cdot (-\frac{1}{3})$

$3a - 5b = -5$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 4a - 5b = 10 \\ 3a - 5b = -5 \end{cases}$

Для решения вычтем второе уравнение из первого:

$(4a - 5b) - (3a - 5b) = 10 - (-5)$

$4a - 5b - 3a + 5b = 10 + 5$

$a = 15$

Подставим $a=15$ в уравнение $3a - 5b = -5$:

$3 \cdot 15 - 5b = -5$

$45 - 5b = -5$

$-5b = -5 - 45$

$-5b = -50$

$b = 10$

Ответ: $a=15, b=10$.

1112. Имеет ли решения система уравнений и сколько:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x} - \mathrm{y} = 1,\\ -6\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = 2;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}-5\mathrm{x} + 2\mathrm{у} = 7,\\ 15\mathrm{x} - 6\mathrm{y} =-21?\end{array}\right.$

а) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2 \end{cases} $
Для анализа количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ можно сравнить отношения коэффициентов.
Найдем отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $
Отношение свободных членов: $ \frac{1}{2} $
Так как $ \frac{2}{-6} = \frac{-1}{3} \neq \frac{1}{2} $, то есть отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов, система не имеет решений. Графически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны и не совпадают.
Также можно решить систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$ y = 2x - 1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ -6x + 3(2x - 1) = 2 $
$ -6x + 6x - 3 = 2 $
$ -3 = 2 $
Получено неверное равенство, которое не зависит от переменных. Это означает, что система несовместна.
Ответ: система не имеет решений.

б) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21 \end{cases} $
Сравним отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $
Отношение свободных членов: $ \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3} $
Так как $ \frac{-5}{15} = \frac{2}{-6} = \frac{7}{-21} $, то есть все три отношения равны, система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, совпадают.
Также можно заметить, что если второе уравнение разделить на -3, мы получим первое уравнение:
$ (15x - 6y) : (-3) = -21 : (-3) $
$ -5x + 2y = 7 $
Так как оба уравнения в системе по сути одинаковы, любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению, будет удовлетворять и второму. Следовательно, решений бесконечно много.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

1113. Разложите на множители:

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $15a^2 - 15b^2$, сначала вынесем общий множитель 15 за скобки:

$15a^2 - 15b^2 = 15(a^2 - b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$15(a^2 - b^2) = 15(a - b)(a + b)$

Ответ: $15(a - b)(a + b)$

б) В выражении $29a^2 + 29b^2 + 58ab$ вынесем общий множитель 29 за скобки, учитывая, что $58 = 29 \cdot 2$:

$29a^2 + 29b^2 + 58ab = 29(a^2 + b^2 + 2ab)$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы получить формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$:

$29(a^2 + 2ab + b^2) = 29(a + b)^2$

Ответ: $29(a + b)^2$

в) В выражении $10a^3 + 10b^3$ вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10a^3 + 10b^3 = 10(a^3 + b^3)$

Выражение в скобках $a^3 + b^3$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$10(a^3 + b^3) = 10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: $10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

г) В выражении $18a^3 - 18b^3$ вынесем общий множитель 18 за скобки:

$18a^3 - 18b^3 = 18(a^3 - b^3)$

Выражение в скобках $a^3 - b^3$ является разностью кубов. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$18(a^3 - b^3) = 18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

д) В выражении $47a^6 - 47b^6$ вынесем общий множитель 47 за скобки:

$47a^6 - 47b^6 = 47(a^6 - b^6)$

Выражение в скобках $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$ и применить соответствующую формулу:

$47((a^3)^2 - (b^3)^2) = 47(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$

Теперь разложим на множители разность кубов $a^3 - b^3$ и сумму кубов $a^3 + b^3$, используя известные формулы:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Подставляя полученные разложения, получаем окончательный результат:

$47(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: $47(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) В выражении $51a^6 + 51b^6$ вынесем общий множитель 51 за скобки:

$51a^6 + 51b^6 = 51(a^6 + b^6)$

Выражение в скобках $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов, если записать $a^6 = (a^2)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$:

$51((a^2)^3 + (b^2)^3)$

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$51(a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = 51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

1114. Упростите выражение:
а) 2х(8х − 1) − (4х + 1)²;
б) 4(3y − 1)² − 18y(2y − 1).

а) Чтобы упростить выражение $2x(8x - 1) - (4x + 1)^2$, выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом, умножив $2x$ на каждый член в скобках:

$2x(8x - 1) = 2x \cdot 8x - 2x \cdot 1 = 16x^2 - 2x$

2. Раскроем вторую скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(16x^2 - 2x) - (16x^2 + 8x + 1)$

4. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$16x^2 - 2x - 16x^2 - 8x - 1$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-2x - 8x) - 1 = 0 - 10x - 1 = -10x - 1$

Ответ: $-10x - 1$

б) Чтобы упростить выражение $4(3y - 1)^2 - 18y(2y - 1)$, выполним следующие действия:

1. Раскроем скобку $(3y - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3y - 1)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = 9y^2 - 6y + 1$

2. Умножим полученный многочлен на 4:

$4(9y^2 - 6y + 1) = 4 \cdot 9y^2 - 4 \cdot 6y + 4 \cdot 1 = 36y^2 - 24y + 4$

3. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-18y$ на каждый член в скобках:

$-18y(2y - 1) = -18y \cdot 2y - (-18y) \cdot 1 = -36y^2 + 18y$

4. Подставим полученные выражения в исходное и сложим их:

$(36y^2 - 24y + 4) + (-36y^2 + 18y) = 36y^2 - 24y + 4 - 36y^2 + 18y$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(36y^2 - 36y^2) + (-24y + 18y) + 4 = 0 - 6y + 4 = -6y + 4$

Ответ: $-6y + 4$