Номер 1113, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1113, страница 221.

Условие.

1113. Разложите на множители:

а) 15а² − 15b²;
б) 29а² + 29b² + 58аb;
в) 10а³ + 10b³;

г) 18а³ − 18b³;
д) 47а⁶ − 47b⁶;
е) 51а⁶ + 51b⁶.

Решение 1.

а) 15а² − 15b² = 15(a² - b²) =
= 15(a - b) (a + b);

б) 29а² + 29b² + 58аb =
= 29(a² + b² + 2ab) =
= 29(a + b)²;

в) 10а³ + 10b³ = 10(a³ + b³) =
= 10(a + b) (a² - ab + b²);

г) 18а³ − 18b² = 18(a³ - b³) =
= 18(a - b) (a² + ab + b²);

д) 47а⁶ − 47b⁶ = 47(a⁶ - b⁶) =
= 47((a³)² - (b³)²) =
= 47(a³ - b³) (a³ + b³) =
= 47(a - b) (a² + ab + b²) ×
× (a + b) (a² - ab + b²);

е) 51а⁶ + 51b⁶ = 51(a⁶ + b⁶) =
= 51((a²)³ + (b²)³ =
= 51(a² + b²) (a⁴ - a²b² + b⁴).

Решение 2.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $15a^2 - 15b^2$, сначала вынесем общий множитель 15 за скобки:

$15a^2 - 15b^2 = 15(a^2 - b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$15(a^2 - b^2) = 15(a - b)(a + b)$

Ответ: $15(a - b)(a + b)$

б) В выражении $29a^2 + 29b^2 + 58ab$ вынесем общий множитель 29 за скобки, учитывая, что $58 = 29 \cdot 2$:

$29a^2 + 29b^2 + 58ab = 29(a^2 + b^2 + 2ab)$

Переставим слагаемые в скобках, чтобы получить формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$:

$29(a^2 + 2ab + b^2) = 29(a + b)^2$

Ответ: $29(a + b)^2$

в) В выражении $10a^3 + 10b^3$ вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10a^3 + 10b^3 = 10(a^3 + b^3)$

Выражение в скобках $a^3 + b^3$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$10(a^3 + b^3) = 10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: $10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

г) В выражении $18a^3 - 18b^3$ вынесем общий множитель 18 за скобки:

$18a^3 - 18b^3 = 18(a^3 - b^3)$

Выражение в скобках $a^3 - b^3$ является разностью кубов. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$18(a^3 - b^3) = 18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

д) В выражении $47a^6 - 47b^6$ вынесем общий множитель 47 за скобки:

$47a^6 - 47b^6 = 47(a^6 - b^6)$

Выражение в скобках $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$ и применить соответствующую формулу:

$47((a^3)^2 - (b^3)^2) = 47(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$

Теперь разложим на множители разность кубов $a^3 - b^3$ и сумму кубов $a^3 + b^3$, используя известные формулы:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Подставляя полученные разложения, получаем окончательный результат:

$47(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: $47(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) В выражении $51a^6 + 51b^6$ вынесем общий множитель 51 за скобки:

$51a^6 + 51b^6 = 51(a^6 + b^6)$

Выражение в скобках $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов, если записать $a^6 = (a^2)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$:

$51((a^2)^3 + (b^2)^3)$

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$51(a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = 51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.