Страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1098. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9 \end{cases}$.
Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами (11 и -11). Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x + 11y) + (10x - 11y) = 15 + 9$
$12x = 24$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{24}{12}$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$2 \cdot 2 + 11y = 15$
$4 + 11y = 15$
$11y = 15 - 4$
$11y = 11$
$y = 1$
Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

б)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8x - 17y = 4, \\ -8x + 15y = 4 \end{cases}$.
Применим метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами (8 и -8). Сложим уравнения:
$(8x - 17y) + (-8x + 15y) = 4 + 4$
$-2y = 8$
Найдем $y$:
$y = \frac{8}{-2}$
$y = -4$
Подставим найденное значение $y=-4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$8x - 17 \cdot (-4) = 4$
$8x + 68 = 4$
$8x = 4 - 68$
$8x = -64$
$x = \frac{-64}{8}$
$x = -8$
Решением системы является пара чисел $(-8; -4)$.
Ответ: $(-8; -4)$.

в)

Рассмотрим следующую систему уравнений: $\begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90 \end{cases}$.
Воспользуемся методом вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(4x - 7y) - (4x - 5y) = 30 - 90$
$4x - 7y - 4x + 5y = -60$
$-2y = -60$
Найдем $y$:
$y = \frac{-60}{-2}$
$y = 30$
Подставим найденное значение $y=30$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$4x - 7 \cdot 30 = 30$
$4x - 210 = 30$
$4x = 30 + 210$
$4x = 240$
$x = \frac{240}{4}$
$x = 60$
Решением системы является пара чисел $(60; 30)$.
Ответ: $(60; 30)$.

г)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ 11x - 8y = 24 \end{cases}$.
Применим метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(13x - 8y) - (11x - 8y) = 28 - 24$
$13x - 8y - 11x + 8y = 4$
$2x = 4$
Найдем $x$:
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$11 \cdot 2 - 8y = 24$
$22 - 8y = 24$
$-8y = 24 - 22$
$-8y = 2$
$y = \frac{2}{-8}$
$y = -\frac{1}{4}$
Решением системы является пара чисел $(2; -\frac{1}{4})$.
Ответ: $(2; -\frac{1}{4})$.

1099. Найдите решение системы уравнений:

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 6y = 17, \\ 5x + 6y = 13. \end{cases} $ Для решения данной системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-6$ и $6$). Сложим почленно левые и правые части уравнений: $(x - 6y) + (5x + 6y) = 17 + 13$ $x + 5x - 6y + 6y = 30$ $6x = 30$ Найдём $x$: $x = \frac{30}{6} = 5$. Теперь подставим найденное значение $x = 5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$: $5 - 6y = 17$ $-6y = 17 - 5$ $-6y = 12$ $y = \frac{12}{-6} = -2$. Таким образом, решение системы — пара чисел $(5; -2)$. Ответ: $(5; -2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 7y = -12, \\ -4x + 3y = 12. \end{cases} $ Применим метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($4$ и $-4$). Сложим уравнения: $(4x - 7y) + (-4x + 3y) = -12 + 12$ $4x - 4x - 7y + 3y = 0$ $-4y = 0$ Найдём $y$: $y = 0$. Подставим значение $y = 0$ в первое уравнение системы: $4x - 7 \cdot 0 = -12$ $4x - 0 = -12$ $4x = -12$ Найдём $x$: $x = \frac{-12}{4} = -3$. Решением системы является пара чисел $(-3; 0)$. Ответ: $(-3; 0)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ -5x + 2y = 45. \end{cases} $ Для решения этой системы используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ равны ($2$ и $2$). Вычтем второе уравнение из первого: $(3x + 2y) - (-5x + 2y) = 5 - 45$ $3x + 5x + 2y - 2y = -40$ $8x = -40$ Найдём $x$: $x = \frac{-40}{8} = -5$. Подставим найденное значение $x = -5$ в первое уравнение системы: $3(-5) + 2y = 5$ $-15 + 2y = 5$ $2y = 5 + 15$ $2y = 20$ $y = \frac{20}{2} = 10$. Решением системы является пара чисел $(-5; 10)$. Ответ: $(-5; 10)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9x - 4y = -13, \\ 9x - 2y = -20. \end{cases} $ Применим метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ равны. Вычтем второе уравнение из первого: $(9x - 4y) - (9x - 2y) = -13 - (-20)$ $9x - 4y - 9x + 2y = -13 + 20$ $-2y = 7$ Найдём $y$: $y = \frac{7}{-2} = -3.5$. Подставим значение $y = -3.5$ во второе уравнение системы: $9x - 2(-3.5) = -20$ $9x + 7 = -20$ $9x = -20 - 7$ $9x = -27$ $x = \frac{-27}{9} = -3$. Решением системы является пара чисел $(-3; -3.5)$. Ответ: $(-3; -3.5)$.

1100. Решите систему уравнений:

а) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 7y = 5 \end{cases} $Для решения системы воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали равными.$ 2 \cdot (20x - 7y) = 2 \cdot 5 $$ 40x - 14y = 10 $Теперь система выглядит так:$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 40x - 14y = 10 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (40x + 3y) - (40x - 14y) = 10 - 10 $$ 40x + 3y - 40x + 14y = 0 $$ 17y = 0 $$ y = 0 $Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:$ 20x - 7 \cdot 0 = 5 $$ 20x = 5 $$ x = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $Проверим решение, подставив значения в первое уравнение:$ 40 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 = 10 + 0 = 10 $. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{1}{4}; 0)$.

б) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ совпали.$ 3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot 1 $$ 15x - 6y = 3 $Получаем систему:$ \begin{cases} 15x - 6y = 3 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (15x - 6y) - (15x - 3y) = 3 - (-3) $$ 15x - 6y - 15x + 3y = 3 + 3 $$ -3y = 6 $$ y = -2 $Подставим значение $y = -2$ в первое исходное уравнение:$ 5x - 2 \cdot (-2) = 1 $$ 5x + 4 = 1 $$ 5x = 1 - 4 $$ 5x = -3 $$ x = -\frac{3}{5} $Проверим, подставив значения во второе уравнение:$ 15 \cdot (-\frac{3}{5}) - 3 \cdot (-2) = -9 + 6 = -3 $. Равенство верно.
Ответ: $(-\frac{3}{5}; -2)$.

в) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 9a + 14b = 4 \end{cases} $Заметим, что $42b = 3 \cdot 14b$. Умножим второе уравнение на 3:$ 3 \cdot (9a + 14b) = 3 \cdot 4 $$ 27a + 42b = 12 $Получаем систему:$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 27a + 42b = 12 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (33a + 42b) - (27a + 42b) = 10 - 12 $$ 6a = -2 $$ a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $Подставим $a = -\frac{1}{3}$ во второе исходное уравнение:$ 9 \cdot (-\frac{1}{3}) + 14b = 4 $$ -3 + 14b = 4 $$ 14b = 7 $$ b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $Проверим, подставив значения в первое уравнение:$ 33 \cdot (-\frac{1}{3}) + 42 \cdot \frac{1}{2} = -11 + 21 = 10 $. Равенство верно.
Ответ: $(-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.

г) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:$ 11x - 18y = 4 $Система примет вид:$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 18y = 4 \end{cases} $Чтобы уравнять коэффициенты при $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:$ 3 \cdot (13x - 12y) = 3 \cdot 14 \implies 39x - 36y = 42 $$ 2 \cdot (11x - 18y) = 2 \cdot 4 \implies 22x - 36y = 8 $Система:$ \begin{cases} 39x - 36y = 42 \\ 22x - 36y = 8 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (39x - 36y) - (22x - 36y) = 42 - 8 $$ 17x = 34 $$ x = 2 $Подставим $x=2$ в уравнение $11x - 18y = 4$:$ 11 \cdot 2 - 18y = 4 $$ 22 - 18y = 4 $$ 18 = 18y $$ y = 1 $Проверим, подставив значения в первое исходное уравнение:$ 13 \cdot 2 - 12 \cdot 1 = 26 - 12 = 14 $. Равенство верно.
Ответ: $(2; 1)$.

д) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0,5 \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ 15x + 21y = 0,5 $Система примет вид:$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 15x + 21y = 0,5 \end{cases} $Для удобства умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $30x + 42y = 1$.Теперь умножим первое уравнение на 3: $3 \cdot (10x - 9y) = 3 \cdot 8 \implies 30x - 27y = 24$.Система:$ \begin{cases} 30x - 27y = 24 \\ 30x + 42y = 1 \end{cases} $Вычтем из второго уравнения первое:$ (30x + 42y) - (30x - 27y) = 1 - 24 $$ 42y + 27y = -23 $$ 69y = -23 $$ y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} $Подставим $y = -\frac{1}{3}$ в первое исходное уравнение:$ 10x - 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = 8 $$ 10x + 3 = 8 $$ 10x = 5 $$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $Проверим, подставив значения во второе исходное уравнение:$ 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 15 \cdot \frac{1}{2} = -7 + 7,5 = 0,5 $. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{3})$.

е) Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} $Приведем второе уравнение к стандартному виду:$ 4y + 5z = -11 $Система примет вид:$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 4y + 5z = -11 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 5, а второе на 8, чтобы уравнять коэффициенты при $z$:$ 5 \cdot (9y + 8z) = 5 \cdot (-2) \implies 45y + 40z = -10 $$ 8 \cdot (4y + 5z) = 8 \cdot (-11) \implies 32y + 40z = -88 $Система:$ \begin{cases} 45y + 40z = -10 \\ 32y + 40z = -88 \end{cases} $Вычтем из первого уравнения второе:$ (45y + 40z) - (32y + 40z) = -10 - (-88) $$ 13y = 78 $$ y = 6 $Подставим $y=6$ во второе преобразованное уравнение $4y + 5z = -11$:$ 4 \cdot 6 + 5z = -11 $$ 24 + 5z = -11 $$ 5z = -11 - 24 $$ 5z = -35 $$ z = -7 $Проверим, подставив значения в первое исходное уравнение:$ 9 \cdot 6 + 8 \cdot (-7) = 54 - 56 = -2 $. Равенство верно.
Ответ: $(6; -7)$.

1101. Решите систему уравнений:

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ 4x - 5y = 6; \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ -3(4x - 5y) = -3 \cdot 6; \end{cases}$

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ -12x + 15y = -18; \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(12x - 7y) + (-12x + 15y) = 2 + (-18)$

$8y = -16$

$y = -16 / 8$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$4x - 5(-2) = 6$

$4x + 10 = 6$

$4x = 6 - 10$

$4x = -4$

$x = -1$

Таким образом, решение системы: $x = -1, y = -2$.

Ответ: $(-1; -2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 7u + 2v = 1, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали противоположными:

$\begin{cases} -3(7u + 2v) = -3 \cdot 1, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

$\begin{cases} -21u - 6v = -3, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-21u - 6v) + (17u + 6v) = -3 + (-9)$

$-4u = -12$

$u = -12 / (-4)$

$u = 3$

Подставим значение $u=3$ в первое уравнение исходной системы:

$7(3) + 2v = 1$

$21 + 2v = 1$

$2v = 1 - 21$

$2v = -20$

$v = -10$

Решение системы: $u = 3, v = -10$.

Ответ: $(3; -10)$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6x = 25y + 1, \\ 5x - 16y = -4; \end{cases}$

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$\begin{cases} 6x - 25y = 1, \\ 5x - 16y = -4; \end{cases}$

Для решения методом сложения умножим первое уравнение на $5$, а второе на $-6$, чтобы избавиться от переменной $x$:

$\begin{cases} 5(6x - 25y) = 5 \cdot 1, \\ -6(5x - 16y) = -6 \cdot (-4); \end{cases}$

$\begin{cases} 30x - 125y = 5, \\ -30x + 96y = 24; \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(30x - 125y) + (-30x + 96y) = 5 + 24$

$-29y = 29$

$y = 29 / (-29)$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $6x = 25y + 1$:

$6x = 25(-1) + 1$

$6x = -25 + 1$

$6x = -24$

$x = -24 / 6$

$x = -4$

Решение системы: $x = -4, y = -1$.

Ответ: $(-4; -1)$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4b + 7a = 90, \\ 5a - 6b = 20; \end{cases}$

Для удобства запишем переменные в одинаковом порядке в обоих уравнениях (например, в алфавитном):

$\begin{cases} 7a + 4b = 90, \\ 5a - 6b = 20; \end{cases}$

Используем метод сложения. Чтобы исключить переменную $b$, умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$:

$\begin{cases} 3(7a + 4b) = 3 \cdot 90, \\ 2(5a - 6b) = 2 \cdot 20; \end{cases}$

$\begin{cases} 21a + 12b = 270, \\ 10a - 12b = 40; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(21a + 12b) + (10a - 12b) = 270 + 40$

$31a = 310$

$a = 310 / 31$

$a = 10$

Подставим значение $a=10$ во второе исходное уравнение $5a - 6b = 20$:

$5(10) - 6b = 20$

$50 - 6b = 20$

$-6b = 20 - 50$

$-6b = -30$

$b = -30 / (-6)$

$b = 5$

Решение системы: $a = 10, b = 5$.

Ответ: $a=10, b=5$.