Номер 1099, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1099, страница 219.

Условие.

1099. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-6\mathrm{y}=17;\\ 5\mathrm{x}+6\mathrm{y}=13;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}6\mathrm{x}=30;\\ \mathrm{x}-6\mathrm{y}=17;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5;\\ 5-6\mathrm{y}=17;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5;\\ 6\mathrm{y}=5-17;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5;\\ 6\mathrm{y}=-12;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=5;\\ \mathrm{y}=-2.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (5; -2).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}4\mathrm{x}-7\mathrm{y}=-12;\\ -4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=12;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-4\mathrm{y}=0;\\ 4\mathrm{x}-7\mathrm{y}=-12;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}-4\mathrm{y}=0;\\ 4\mathrm{x}=-12;\end{array} \left\{\begin{array}{c}-4\mathrm{y}=0;\\ \mathrm{x}=-3.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-3; 0).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=5 /·(-1);\\ -5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=45;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}-3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-5;\\ -5\mathrm{x}+2\mathrm{y}=45;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}-8\mathrm{x}=40;\\ 3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=5;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-5;\\ 3·(-5)+2\mathrm{y}=5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-5;\\ -15+2\mathrm{y}=5;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-5;\\ 2\mathrm{y}=20;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-5;\\ \mathrm{y}=10.\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: (-5; 10).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}9\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-13;\\ 9\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-20 /·(-2);\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}9\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-13;\\ -18\mathrm{x}+4\mathrm{y}=40;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-9\mathrm{x}=27;\\ 9\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-13;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ 9·(-3)-4\mathrm{y}=-13;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ -27-4\mathrm{y}=-13;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ 4\mathrm{y}=-27+13;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ 4\mathrm{y}=-14;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ \mathrm{y}=-\frac{14}{4};\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ \mathrm{y}=-\frac{7}{2};\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-3;\\ \mathrm{y}=-3,5.\end{array}\right.\right.\right.$

Ответ: (-3; -3,5).

Решение 2.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 6y = 17, \\ 5x + 6y = 13. \end{cases} $ Для решения данной системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-6$ и $6$). Сложим почленно левые и правые части уравнений: $(x - 6y) + (5x + 6y) = 17 + 13$ $x + 5x - 6y + 6y = 30$ $6x = 30$ Найдём $x$: $x = \frac{30}{6} = 5$. Теперь подставим найденное значение $x = 5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$: $5 - 6y = 17$ $-6y = 17 - 5$ $-6y = 12$ $y = \frac{12}{-6} = -2$. Таким образом, решение системы — пара чисел $(5; -2)$. Ответ: $(5; -2)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 7y = -12, \\ -4x + 3y = 12. \end{cases} $ Применим метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($4$ и $-4$). Сложим уравнения: $(4x - 7y) + (-4x + 3y) = -12 + 12$ $4x - 4x - 7y + 3y = 0$ $-4y = 0$ Найдём $y$: $y = 0$. Подставим значение $y = 0$ в первое уравнение системы: $4x - 7 \cdot 0 = -12$ $4x - 0 = -12$ $4x = -12$ Найдём $x$: $x = \frac{-12}{4} = -3$. Решением системы является пара чисел $(-3; 0)$. Ответ: $(-3; 0)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ -5x + 2y = 45. \end{cases} $ Для решения этой системы используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ равны ($2$ и $2$). Вычтем второе уравнение из первого: $(3x + 2y) - (-5x + 2y) = 5 - 45$ $3x + 5x + 2y - 2y = -40$ $8x = -40$ Найдём $x$: $x = \frac{-40}{8} = -5$. Подставим найденное значение $x = -5$ в первое уравнение системы: $3(-5) + 2y = 5$ $-15 + 2y = 5$ $2y = 5 + 15$ $2y = 20$ $y = \frac{20}{2} = 10$. Решением системы является пара чисел $(-5; 10)$. Ответ: $(-5; 10)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9x - 4y = -13, \\ 9x - 2y = -20. \end{cases} $ Применим метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ равны. Вычтем второе уравнение из первого: $(9x - 4y) - (9x - 2y) = -13 - (-20)$ $9x - 4y - 9x + 2y = -13 + 20$ $-2y = 7$ Найдём $y$: $y = \frac{7}{-2} = -3.5$. Подставим значение $y = -3.5$ во второе уравнение системы: $9x - 2(-3.5) = -20$ $9x + 7 = -20$ $9x = -20 - 7$ $9x = -27$ $x = \frac{-27}{9} = -3$. Решением системы является пара чисел $(-3; -3.5)$. Ответ: $(-3; -3.5)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.