Номер 1101, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1101, страница 219.

Условие.

1101. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}12\mathrm{x}-7\mathrm{y}=2;\\ 4\mathrm{x}-5\mathrm{y}=6 /·(-3);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}12\mathrm{x}-7\mathrm{y}=2;\\ -12\mathrm{x}+15\mathrm{y}=-18;\end{array}\left\{\begin{array}{l}8\mathrm{y}=-16;\\ 12\mathrm{x}-7\mathrm{y}=2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 12\mathrm{x}-7·(-2)=2;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 12\mathrm{x}+14=2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 12\mathrm{x}=2-14;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ 12\mathrm{x}=-12;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ \mathrm{x}=-1.\end{array}\right.$

Ответ: (-1; -2).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}7\mathrm{u}+2\mathrm{v}=1 /·(-3);\\ 17\mathrm{u}+6\mathrm{v}=-9;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-21\mathrm{u}-6\mathrm{v}=-3;\\ 17\mathrm{u}+6\mathrm{v}=-9;\end{array}\left\{\begin{array}{l}-4\mathrm{u}=-12;\\ 7\mathrm{u}+2\mathrm{v}=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=3;\\ 7·3+2\mathrm{v}=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=3;\\ 21+2\mathrm{v}=1;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=3;\\ 2\mathrm{v}=1-21;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=3;\\ 2\mathrm{v}=-20;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=3;\\ \mathrm{v}=-10.\end{array}\right.$

Ответ: u = 3; v = -10.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}=25\mathrm{y}+1;\\ 5\mathrm{x}-16\mathrm{y}=-4;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}6\mathrm{x}-25\mathrm{y}=1 /·5;\\ 5\mathrm{x}-16\mathrm{y}=-4 /· (-6);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}30\mathrm{x}-125\mathrm{y}=5;\\ -30\mathrm{x}+96\mathrm{y}=24;\end{array}\left\{\begin{array}{l}-29\mathrm{y}=29;\\ 6\mathrm{x}-25\mathrm{y}=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{x}-25·(-1)=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{x}+25=1;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{x}=1-25;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ 6\mathrm{x}=-24;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-1;\\ \mathrm{x}=-4.\end{array}\right.$

Ответ: (-4; -1).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{b}+7\mathrm{a}=90;\\ 5\mathrm{a}-6\mathrm{b}=20;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}7\mathrm{a}+4\mathrm{b}=90 /·3;\\ 5\mathrm{a}-6\mathrm{b}=20 /·2;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}21\mathrm{a}+12\mathrm{b}=270;\\ 10\mathrm{a}-12\mathrm{b}=40;\end{array}\left\{\begin{array}{l}31\mathrm{a}=310;\\ 5\mathrm{a}-6\mathrm{b}=20;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10;\\ 5·10-6\mathrm{b}=20;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10;\\ 50-6\mathrm{b}=20;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10;\\ 6\mathrm{b}=50-20;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10;\\ 6\mathrm{b}=30;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10;\\ \mathrm{b}=5.\end{array}\right.$

Ответ: a = 10; b = 5.

Решение 2.

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ 4x - 5y = 6; \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ -3(4x - 5y) = -3 \cdot 6; \end{cases}$

$\begin{cases} 12x - 7y = 2, \\ -12x + 15y = -18; \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(12x - 7y) + (-12x + 15y) = 2 + (-18)$

$8y = -16$

$y = -16 / 8$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$4x - 5(-2) = 6$

$4x + 10 = 6$

$4x = 6 - 10$

$4x = -4$

$x = -1$

Таким образом, решение системы: $x = -1, y = -2$.

Ответ: $(-1; -2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 7u + 2v = 1, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали противоположными:

$\begin{cases} -3(7u + 2v) = -3 \cdot 1, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

$\begin{cases} -21u - 6v = -3, \\ 17u + 6v = -9; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-21u - 6v) + (17u + 6v) = -3 + (-9)$

$-4u = -12$

$u = -12 / (-4)$

$u = 3$

Подставим значение $u=3$ в первое уравнение исходной системы:

$7(3) + 2v = 1$

$21 + 2v = 1$

$2v = 1 - 21$

$2v = -20$

$v = -10$

Решение системы: $u = 3, v = -10$.

Ответ: $(3; -10)$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6x = 25y + 1, \\ 5x - 16y = -4; \end{cases}$

Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$\begin{cases} 6x - 25y = 1, \\ 5x - 16y = -4; \end{cases}$

Для решения методом сложения умножим первое уравнение на $5$, а второе на $-6$, чтобы избавиться от переменной $x$:

$\begin{cases} 5(6x - 25y) = 5 \cdot 1, \\ -6(5x - 16y) = -6 \cdot (-4); \end{cases}$

$\begin{cases} 30x - 125y = 5, \\ -30x + 96y = 24; \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(30x - 125y) + (-30x + 96y) = 5 + 24$

$-29y = 29$

$y = 29 / (-29)$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение $6x = 25y + 1$:

$6x = 25(-1) + 1$

$6x = -25 + 1$

$6x = -24$

$x = -24 / 6$

$x = -4$

Решение системы: $x = -4, y = -1$.

Ответ: $(-4; -1)$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4b + 7a = 90, \\ 5a - 6b = 20; \end{cases}$

Для удобства запишем переменные в одинаковом порядке в обоих уравнениях (например, в алфавитном):

$\begin{cases} 7a + 4b = 90, \\ 5a - 6b = 20; \end{cases}$

Используем метод сложения. Чтобы исключить переменную $b$, умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$:

$\begin{cases} 3(7a + 4b) = 3 \cdot 90, \\ 2(5a - 6b) = 2 \cdot 20; \end{cases}$

$\begin{cases} 21a + 12b = 270, \\ 10a - 12b = 40; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(21a + 12b) + (10a - 12b) = 270 + 40$

$31a = 310$

$a = 310 / 31$

$a = 10$

Подставим значение $a=10$ во второе исходное уравнение $5a - 6b = 20$:

$5(10) - 6b = 20$

$50 - 6b = 20$

$-6b = 20 - 50$

$-6b = -30$

$b = -30 / (-6)$

$b = 5$

Решение системы: $a = 10, b = 5$.

Ответ: $a=10, b=5$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.