Номер 1098, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 44. Способ сложения - номер 1098, страница 219.

Условие.

1098. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+11\mathrm{y}=15;\\ 10\mathrm{x}-11\mathrm{y}=9;\end{array} \left\{\begin{array}{c}12\mathrm{x}=24;\\ 2\mathrm{x}+11\mathrm{y}=15;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 2·2+11\mathrm{y}=15;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 4+11\mathrm{y}=15;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 11\mathrm{y}=11;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=1.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (2; 1).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}8\mathrm{x}-17\mathrm{y}=4;\\ -8\mathrm{x}+15\mathrm{y}=4;\end{array} \left\{\begin{array}{c}-2\mathrm{y}=8;\\ 8\mathrm{x}-17\mathrm{y}=4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 8\mathrm{x}-17·(-4)=4;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 8\mathrm{x}+68=4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 8\mathrm{x}=4-68;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ 8\mathrm{x}=-64;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-4;\\ \mathrm{x}=-8.\end{array}\right.$

Ответ: (-8; -4).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}4\mathrm{x}-7\mathrm{y}=30 /·(-1);\\ 4\mathrm{x}-5\mathrm{y}=90;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}-4\mathrm{x}+7\mathrm{y}=-30;\\ 4\mathrm{x}-5\mathrm{y}=90;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=60;\\ 4\mathrm{x}-5\mathrm{y}=90;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=30;\\ 4\mathrm{x}-5·30=90;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=30;\\ 4\mathrm{x}-150=90;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=30;\\ 4\mathrm{x}=240;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=30;\\ \mathrm{x}=60.\end{array}\right.$

Ответ: (60; 30).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{c}13\mathrm{x}-8\mathrm{y}=28;\\ 11\mathrm{x}-8\mathrm{y}=24 /·(-1);\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}13\mathrm{x}-8\mathrm{y}=28;\\ -11\mathrm{x}+8\mathrm{y}=-24;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}=4;\\ 11\mathrm{x}-8\mathrm{y}=24;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 11·2-8\mathrm{y}=24;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 22-8\mathrm{y}=24;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 8\mathrm{y}=22-24;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ 8\mathrm{y}=-2;\end{array} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=-\frac{2}{8};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{4}.\end{array}\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(2; -\frac{1}{4}\right)\mathbf{.}$

Решение 2.

а)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9 \end{cases}$.
Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами (11 и -11). Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x + 11y) + (10x - 11y) = 15 + 9$
$12x = 24$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{24}{12}$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$2 \cdot 2 + 11y = 15$
$4 + 11y = 15$
$11y = 15 - 4$
$11y = 11$
$y = 1$
Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

б)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8x - 17y = 4, \\ -8x + 15y = 4 \end{cases}$.
Применим метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами (8 и -8). Сложим уравнения:
$(8x - 17y) + (-8x + 15y) = 4 + 4$
$-2y = 8$
Найдем $y$:
$y = \frac{8}{-2}$
$y = -4$
Подставим найденное значение $y=-4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$8x - 17 \cdot (-4) = 4$
$8x + 68 = 4$
$8x = 4 - 68$
$8x = -64$
$x = \frac{-64}{8}$
$x = -8$
Решением системы является пара чисел $(-8; -4)$.
Ответ: $(-8; -4)$.

в)

Рассмотрим следующую систему уравнений: $\begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90 \end{cases}$.
Воспользуемся методом вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(4x - 7y) - (4x - 5y) = 30 - 90$
$4x - 7y - 4x + 5y = -60$
$-2y = -60$
Найдем $y$:
$y = \frac{-60}{-2}$
$y = 30$
Подставим найденное значение $y=30$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$4x - 7 \cdot 30 = 30$
$4x - 210 = 30$
$4x = 30 + 210$
$4x = 240$
$x = \frac{240}{4}$
$x = 60$
Решением системы является пара чисел $(60; 30)$.
Ответ: $(60; 30)$.

г)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ 11x - 8y = 24 \end{cases}$.
Применим метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(13x - 8y) - (11x - 8y) = 28 - 24$
$13x - 8y - 11x + 8y = 4$
$2x = 4$
Найдем $x$:
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$11 \cdot 2 - 8y = 24$
$22 - 8y = 24$
$-8y = 24 - 22$
$-8y = 2$
$y = \frac{2}{-8}$
$y = -\frac{1}{4}$
Решением системы является пара чисел $(2; -\frac{1}{4})$.
Ответ: $(2; -\frac{1}{4})$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.