Номер 1095, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1095, страница 217.

1095. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по соответствующей формуле:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2) = 4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4x^2 + 4x^2) + (-12xy + 12xy) + (9y^2 + 9y^2) = 8x^2 + 0 + 18y^2 = 8x^2 + 18y^2$

Ответ: $8x^2 + 18y^2$.

б) Для упрощения выражения $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$ воспользуемся теми же формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Раскроем скобки, как и в предыдущем пункте:

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (12xy + 12xy) + (9y^2 - 9y^2) = 0 + 24xy + 0 = 24xy$

Ответ: $24xy$.

в) Упростим выражение $2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 + (2x - y)^2$.

Сначала преобразуем первое слагаемое. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 = 2 \left( (\frac{x}{2})^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + (\frac{y}{4})^2 \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{2xy}{8} + \frac{y^2}{16} \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16} \right)$

Теперь умножим каждый член в скобках на 2:

$2 \cdot \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{xy}{4} + 2 \cdot \frac{y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}$

Далее раскроем второе слагаемое по формуле квадрата разности:

$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

Сложим полученные выражения:

$(\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}) + (4x^2 - 4xy + y^2) = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} + 4x^2 - 4xy + y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, приводя дроби к общему знаменателю:

$(\frac{x^2}{2} + 4x^2) + (\frac{xy}{2} - 4xy) + (\frac{y^2}{8} + y^2) = (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})xy + (\frac{1}{8} + \frac{8}{8})y^2 = \frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$

Ответ: $\frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$.

г) Упростим выражение $3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 - (3x - y)^2$.

Раскроем скобки в уменьшаемом, используя формулу квадрата суммы и умножая на 3:

$3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 = 3 \left( (\frac{x}{3})^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + (\frac{y}{9})^2 \right) = 3 \left( \frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81} \right)$

$= \frac{3x^2}{9} + \frac{3 \cdot 2xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}$

Раскроем скобки в вычитаемом по формуле квадрата разности:

$(3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

Теперь выполним вычитание:

$(\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}) - (9x^2 - 6xy + y^2) = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{x^2}{3} - 9x^2) + (\frac{2xy}{9} + 6xy) + (\frac{y^2}{27} - y^2) = (\frac{1}{3} - \frac{27}{3})x^2 + (\frac{2}{9} + \frac{54}{9})xy + (\frac{1}{27} - \frac{27}{27})y^2$

$= -\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$

Ответ: $-\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$.