Номер 1095, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1095, страница 217.

Условие.

1095. Упростите выражение:

Решение 1.

а) (2x-3y)² + (2x + 3y)² =
= 4x² - 12xy + 9y² + 4x² +
+ 12xy + 9y² = 8x² + 18y²;

б) (2x + 3y)² - (2x - 3y)² =
= 4x² + 12xy + 9y² -
- (4x² - 12xy + 9y²) =
= 4x² + 12xy + 9y² - 4x² +
+ 12xy - 9y² = 24xy;

$\mathbf{в}\mathbf{)} 2{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\mathrm{y}}{4}\right)}^2+{\left(2\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2=$

$=2\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+2·\frac{\mathrm{x}}{2}·\frac{\mathrm{y}}{4}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{16}\right)+$

$+4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{\mathrm{xy}}{2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{8}+$

$+4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2=\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+4{\mathrm{x}}^2\right)+$

$+\left(\frac{\mathrm{xy}}{2}-4\mathrm{xy}\right)+\left(\frac{{\mathrm{y}}^2}{8}+{\mathrm{y}}^2\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+8{\mathrm{x}}^2}{2}+$

$+\frac{\mathrm{xy}-8\mathrm{xy}}{2}+\frac{{\mathrm{y}}^2+8{\mathrm{y}}^2}{8}=\frac{9{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{7\mathrm{xy}}{2}+$

$+\frac{9{\mathrm{y}}^2}{8}=4\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-3\frac{1}{2}\mathrm{xy}+1\frac{1}{8}{\mathrm{y}}^2;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 3{\left(\frac{\mathrm{x}}{3}+\frac{\mathrm{y}}{9}\right)}^2-{(3\mathrm{x}-\mathrm{y})}^2=$

$=3\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}+2·\frac{\mathrm{x}}{3}·\frac{\mathrm{y}}{9}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{81}\right)-$

$-(9{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2)=\frac{{\mathrm{x}}^2}{3}+\frac{2\mathrm{xy}}{9}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{27}-$

$-9{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{xy}-{\mathrm{y}}^2=\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{3}-9{\mathrm{x}}^2\right)+$

$+\left(\frac{2\mathrm{xy}}{9}+6\mathrm{xy}\right)+\left(\frac{{\mathrm{y}}^2}{27}-{\mathrm{y}}^2\right)=$

$=\frac{{\mathrm{x}}^2-27{\mathrm{x}}^2}{3}+\frac{2\mathrm{xy}+54\mathrm{xy}}{9}+\frac{{\mathrm{y}}^2-27{\mathrm{y}}^2}{27}=$

$=-\frac{26{\mathrm{x}}^2}{3}+\frac{56\mathrm{xy}}{9}-\frac{26{\mathrm{y}}^2}{27}.$

Решение 2.

а) Для упрощения выражения $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по соответствующей формуле:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2) = 4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4x^2 + 4x^2) + (-12xy + 12xy) + (9y^2 + 9y^2) = 8x^2 + 0 + 18y^2 = 8x^2 + 18y^2$

Ответ: $8x^2 + 18y^2$.

б) Для упрощения выражения $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$ воспользуемся теми же формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Раскроем скобки, как и в предыдущем пункте:

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (12xy + 12xy) + (9y^2 - 9y^2) = 0 + 24xy + 0 = 24xy$

Ответ: $24xy$.

в) Упростим выражение $2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 + (2x - y)^2$.

Сначала преобразуем первое слагаемое. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 = 2 \left( (\frac{x}{2})^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + (\frac{y}{4})^2 \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{2xy}{8} + \frac{y^2}{16} \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16} \right)$

Теперь умножим каждый член в скобках на 2:

$2 \cdot \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{xy}{4} + 2 \cdot \frac{y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}$

Далее раскроем второе слагаемое по формуле квадрата разности:

$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

Сложим полученные выражения:

$(\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}) + (4x^2 - 4xy + y^2) = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} + 4x^2 - 4xy + y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, приводя дроби к общему знаменателю:

$(\frac{x^2}{2} + 4x^2) + (\frac{xy}{2} - 4xy) + (\frac{y^2}{8} + y^2) = (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})xy + (\frac{1}{8} + \frac{8}{8})y^2 = \frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$

Ответ: $\frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$.

г) Упростим выражение $3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 - (3x - y)^2$.

Раскроем скобки в уменьшаемом, используя формулу квадрата суммы и умножая на 3:

$3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 = 3 \left( (\frac{x}{3})^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + (\frac{y}{9})^2 \right) = 3 \left( \frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81} \right)$

$= \frac{3x^2}{9} + \frac{3 \cdot 2xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}$

Раскроем скобки в вычитаемом по формуле квадрата разности:

$(3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

Теперь выполним вычитание:

$(\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}) - (9x^2 - 6xy + y^2) = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{x^2}{3} - 9x^2) + (\frac{2xy}{9} + 6xy) + (\frac{y^2}{27} - y^2) = (\frac{1}{3} - \frac{27}{3})x^2 + (\frac{2}{9} + \frac{54}{9})xy + (\frac{1}{27} - \frac{27}{27})y^2$

$= -\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$

Ответ: $-\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.