Номер 1089, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1089, страница 216.

Условие.

1089. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
а) 7х + 4у = 23 и 8х − 10у = 19;
б) 11х − 6у = 2 и −8х + 5у = 3.

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}7\mathrm{х} + 4\mathrm{у} = 23; \\ 8\mathrm{х} - 10\mathrm{у} = 19;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7\mathrm{x}=23-4\mathrm{y};\\ 8\mathrm{x}-10\mathrm{y}=19;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 8·\frac{23-4\mathrm{y}}{7}-10\mathrm{y}=19 /·7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 8(23-4\mathrm{y})-70\mathrm{y}=133;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 184-32\mathrm{y}-70\mathrm{y}=133;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 184-102\mathrm{y}=133;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 102\mathrm{y}=184-133;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\\ 102\mathrm{y}=51;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{51}{102};\\ \mathrm{x}=\frac{23-4\mathrm{y}}{7};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{1}{2};\\ \mathrm{x}=\frac{23-4·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{7};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{1}{2};\\ \mathrm{x}=\frac{23-2}{7};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3;\\ \mathrm{y}=0,5.\end{array}\right.$

Ответ: (3; 0,5).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}11\mathrm{х} - 6\mathrm{у} = 2;\\ -8\mathrm{х} + 5\mathrm{у} = 3;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}11\mathrm{х} =2+6\mathrm{у};\\ -8\mathrm{х} + 5\mathrm{у} = 3;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ -8·\frac{2+6\mathrm{y}}{11}+5\mathrm{y}=3 /·11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ -8(2+6\mathrm{y})+55\mathrm{y}=33;\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ -16-48\mathrm{y}+55\mathrm{y}=33;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ 7\mathrm{y}-16=33;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ 7\mathrm{y}=33+16;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2+6\mathrm{y}}{11};\\ 7\mathrm{y}=49;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=7;\\ \mathrm{x}=\frac{2+6·7}{11};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=7;\\ \mathrm{x}=\frac{44}{11};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4;\\ \mathrm{y}=7.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (4; 7).

Решение 2.

а) Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Составим и решим систему:

$\begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $y$ (20 и -20).

$\begin{cases} 5 \cdot (7x + 4y) = 5 \cdot 23 \\ 2 \cdot (8x - 10y) = 2 \cdot 19 \end{cases}$

$\begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(35x + 16x) + (20y - 20y) = 115 + 38$

$51x = 153$

Найдем $x$:

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в первое исходное уравнение ($7x + 4y = 23$) для нахождения $y$:

$7 \cdot 3 + 4y = 23$

$21 + 4y = 23$

$4y = 23 - 21$

$4y = 2$

$y = \frac{2}{4} = 0.5$

Координаты точки пересечения – $(3; 0.5)$.

Ответ: $(3; 0.5)$.

б) Аналогично, найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases}$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными (-30 и 30).

$\begin{cases} 5 \cdot (11x - 6y) = 5 \cdot 2 \\ 6 \cdot (-8x + 5y) = 6 \cdot 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(55x - 48x) + (-30y + 30y) = 10 + 18$

$7x = 28$

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ во второе исходное уравнение ($-8x + 5y = 3$) для нахождения $y$:

$-8 \cdot 4 + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5} = 7$

Координаты точки пересечения – $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.