Номер 1089, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1089, страница 216.

1089. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
а) 7х + 4у = 23 и 8х − 10у = 19;
б) 11х − 6у = 2 и −8х + 5у = 3.

а) Координаты точки пересечения графиков уравнений являются решением системы этих уравнений. Составим и решим систему:

$\begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $y$ (20 и -20).

$\begin{cases} 5 \cdot (7x + 4y) = 5 \cdot 23 \\ 2 \cdot (8x - 10y) = 2 \cdot 19 \end{cases}$

$\begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(35x + 16x) + (20y - 20y) = 115 + 38$

$51x = 153$

Найдем $x$:

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в первое исходное уравнение ($7x + 4y = 23$) для нахождения $y$:

$7 \cdot 3 + 4y = 23$

$21 + 4y = 23$

$4y = 23 - 21$

$4y = 2$

$y = \frac{2}{4} = 0.5$

Координаты точки пересечения – $(3; 0.5)$.

Ответ: $(3; 0.5)$.

б) Аналогично, найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases}$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными (-30 и 30).

$\begin{cases} 5 \cdot (11x - 6y) = 5 \cdot 2 \\ 6 \cdot (-8x + 5y) = 6 \cdot 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(55x - 48x) + (-30y + 30y) = 10 + 18$

$7x = 28$

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ во второе исходное уравнение ($-8x + 5y = 3$) для нахождения $y$:

$-8 \cdot 4 + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5} = 7$

Координаты точки пересечения – $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.