Номер 1086, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1086, страница 215.

Условие.

1086. Найдите решение системы уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+\mathrm{y}=12;\\ 7\mathrm{x}-2\mathrm{y}=31;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12-2\mathrm{x};\\ 7\mathrm{x}-2(12-2\mathrm{x})=31;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12-2\mathrm{x}\\ 7\mathrm{x}-24+4\mathrm{x}=31;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12-2\mathrm{x};\\ 11\mathrm{x}=31+24;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12-2\mathrm{x};\\ 11\mathrm{x}=55;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5;\\ \mathrm{y}=12-2·5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5;\\ \mathrm{y}=12-10;\end{array}\right.$

x = 5;
y = 2

Ответ: (5; 2).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-2\mathrm{x}=4;\\ 7\mathrm{x}-\mathrm{y}=1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2\mathrm{x};\\ 7\mathrm{x}-(4+2\mathrm{x})=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2\mathrm{x};\\ 7\mathrm{x}-4-2\mathrm{x}=1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2\mathrm{x};\\ 5\mathrm{x}=1+4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2\mathrm{x};\\ 5\mathrm{x}=5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2\mathrm{x};\\ \mathrm{x}=1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+2·1;\\ \mathrm{x}=1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=6;\\ \mathrm{x}=1.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (1; 6).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}8\mathrm{y}-\mathrm{x}=4;\\ 2\mathrm{x}-21\mathrm{y}=2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\mathrm{y}-4;\\ 2(8\mathrm{y}-4)-21\mathrm{y}=2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\mathrm{y}-4;\\ 16\mathrm{y}-8-21\mathrm{y}=2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\mathrm{y}-4;\\ -5\mathrm{y}=2+8;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\mathrm{y}-4;\\ -5\mathrm{y}=10;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ \mathrm{x}=8·(-2)-4;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ \mathrm{x}=-16-4;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-20;\\ \mathrm{y}=-2.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-20; -2).

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=\mathrm{y}+0,5;\\ 3\mathrm{x}-5\mathrm{y}=12;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\\ 3\mathrm{x}-5(2\mathrm{x}-0,5)=12;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\\ 3\mathrm{x}-10\mathrm{x}+2,5=12;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\\ -7\mathrm{x}=12-2,5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\\ -7\mathrm{x}=9,5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{9,5}{7}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{95}{70};\\ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-0,5;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{19}{14};\\ \mathrm{y}=2·\left(-\frac{19}{14}\right)-0,5;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\frac{5}{14};\\ \mathrm{y}=-\frac{19}{7}-\frac{1}{2};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\frac{5}{14};\\ \mathrm{y}=\frac{-19·2-7}{14};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\frac{5}{14};\\ \mathrm{y}=-\frac{45}{14};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\frac{5}{14};\\ \mathrm{y}=-3\frac{3}{14}.\end{array}\right.\right.$

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\mathbf{ }\left(-1\frac{5}{14}; -3\frac{3}{14}\right)\mathbf{.}$

Решение 2.

а) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 12, \\ 7x - 2y = 31; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 12 - 2x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$7x - 2(12 - 2x) = 31$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$7x - 24 + 4x = 31$
$11x = 31 + 24$
$11x = 55$
$x = \frac{55}{11}$
$x = 5$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 12 - 2x$:
$y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.
Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

б) Решим систему уравнений: $\begin{cases} y - 2x = 4, \\ 7x - y = 1; \end{cases}$.
Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения. Для наглядности перепишем первое уравнение в виде $-2x + y = 4$. Теперь сложим два уравнения системы почленно:
$(-2x + y) + (7x - y) = 4 + 1$
$(-2x + 7x) + (y - y) = 5$
$5x = 5$
$x = 1$.
Подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$y - 2(1) = 4$
$y - 2 = 4$
$y = 6$.
Решением системы является пара чисел $(1; 6)$.
Ответ: $(1; 6)$.

в) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8y - x = 4, \\ 2x - 21y = 2; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$-x = 4 - 8y$
$x = 8y - 4$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(8y - 4) - 21y = 2$.
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$16y - 8 - 21y = 2$
$-5y = 2 + 8$
$-5y = 10$
$y = -2$.
Теперь найдем $x$, подставив $y = -2$ в выражение $x = 8y - 4$:
$x = 8(-2) - 4 = -16 - 4 = -20$.
Решением системы является пара чисел $(-20; -2)$.
Ответ: $(-20; -2)$.

г) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x = y + 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Приведем первое уравнение к стандартному виду, перенеся $y$ в левую часть:
$2x - y = 0.5$.
Теперь система имеет вид: $\begin{cases} 2x - y = 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Решим систему методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на $-5$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$-5(2x - y) = -5(0.5)$
$-10x + 5y = -2.5$.
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-10x + 5y) + (3x - 5y) = -2.5 + 12$
$-7x = 9.5$
$x = -\frac{9.5}{7} = -\frac{19/2}{7} = -\frac{19}{14}$.
Для нахождения $y$ подставим значение $x$ в выражение $y = 2x - 0.5$ (из первого уравнения):
$y = 2(-\frac{19}{14}) - 0.5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$y = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14}$.
Решением системы является пара чисел $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.
Ответ: $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.