Номер 1086, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1086, страница 215.

1086. Найдите решение системы уравнений:

а) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 12, \\ 7x - 2y = 31; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 12 - 2x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$7x - 2(12 - 2x) = 31$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$7x - 24 + 4x = 31$
$11x = 31 + 24$
$11x = 55$
$x = \frac{55}{11}$
$x = 5$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 12 - 2x$:
$y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.
Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

б) Решим систему уравнений: $\begin{cases} y - 2x = 4, \\ 7x - y = 1; \end{cases}$.
Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения. Для наглядности перепишем первое уравнение в виде $-2x + y = 4$. Теперь сложим два уравнения системы почленно:
$(-2x + y) + (7x - y) = 4 + 1$
$(-2x + 7x) + (y - y) = 5$
$5x = 5$
$x = 1$.
Подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$y - 2(1) = 4$
$y - 2 = 4$
$y = 6$.
Решением системы является пара чисел $(1; 6)$.
Ответ: $(1; 6)$.

в) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8y - x = 4, \\ 2x - 21y = 2; \end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$-x = 4 - 8y$
$x = 8y - 4$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(8y - 4) - 21y = 2$.
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$16y - 8 - 21y = 2$
$-5y = 2 + 8$
$-5y = 10$
$y = -2$.
Теперь найдем $x$, подставив $y = -2$ в выражение $x = 8y - 4$:
$x = 8(-2) - 4 = -16 - 4 = -20$.
Решением системы является пара чисел $(-20; -2)$.
Ответ: $(-20; -2)$.

г) Решим систему уравнений: $\begin{cases} 2x = y + 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Приведем первое уравнение к стандартному виду, перенеся $y$ в левую часть:
$2x - y = 0.5$.
Теперь система имеет вид: $\begin{cases} 2x - y = 0.5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$.
Решим систему методом сложения. Умножим обе части первого уравнения на $-5$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$-5(2x - y) = -5(0.5)$
$-10x + 5y = -2.5$.
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-10x + 5y) + (3x - 5y) = -2.5 + 12$
$-7x = 9.5$
$x = -\frac{9.5}{7} = -\frac{19/2}{7} = -\frac{19}{14}$.
Для нахождения $y$ подставим значение $x$ в выражение $y = 2x - 0.5$ (из первого уравнения):
$y = 2(-\frac{19}{14}) - 0.5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$y = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14}$.
Решением системы является пара чисел $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.
Ответ: $(-\frac{19}{14}; -\frac{45}{14})$.