Номер 1085, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 43. Способ подстановки - номер 1085, страница 215.

Условие.

1085. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-2\mathrm{x}=1;\\ 6\mathrm{x}-\mathrm{y}=7;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1+2\mathrm{x};\\ 6\mathrm{x}-(1+2\mathrm{x})=7;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1+2\mathrm{x};\\ 6\mathrm{x}-1-2\mathrm{x}=7;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1+2\mathrm{x};\\ 4\mathrm{x}=8;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=1+2·2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2;\\ \mathrm{y}=5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (2; 5).

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}7\mathrm{x}-3\mathrm{y}=13;\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+2\mathrm{y};\\ 7·(5+2\mathrm{y})-3\mathrm{y}=13;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+2\mathrm{y};\\ 35+14\mathrm{y}-3\mathrm{y}=13;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+2\mathrm{y};\\ 35+11\mathrm{y}=13;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+2\mathrm{y};\\ 11\mathrm{y}=13-35;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+2\mathrm{y};\\ 11\mathrm{y}=-22;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-2;\\ \mathrm{x}=5+2·(-2);\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1;\\ \mathrm{y}=-2.\end{array}\right.$

Ответ: (1; -2).

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=6;\\ 3\mathrm{x}-5\mathrm{y}=2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\mathrm{y};\\ 3·(6-\mathrm{y})-5\mathrm{y}=2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\mathrm{y};\\ 18-3\mathrm{y}-5\mathrm{y}=2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\mathrm{y};\\ 18-8\mathrm{y}=2;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\mathrm{y};\\ 8\mathrm{y}=18-2;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6-\mathrm{y};\\ 8\mathrm{y}=16;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2;\\ \mathrm{x}=6-2; \end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4;\\ \mathrm{y}=2.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (4; 2).

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-\mathrm{y}=11;\\ 6\mathrm{x}-2\mathrm{y}=13;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-11;\\ 6\mathrm{x}-2(4\mathrm{x}-11)=13;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-11;\\ 6\mathrm{x}-8\mathrm{x}+22=13;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-11;\\ -2\mathrm{x}=13-22;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4\mathrm{x}-11;\\ -2\mathrm{x}=-9;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,5;\\ \mathrm{y}=4·4,5-11;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4,5;\\ \mathrm{y}=18-11;\end{array} \right.$

x = 4,5; y = 7.

Ответ: (4,5; 7).

$\mathbf{д}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-\mathrm{x}=20;\\ 2\mathrm{x}-15\mathrm{y}=-1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ 2\mathrm{x}-15(20+\mathrm{x})=-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ 2\mathrm{x}-300-15\mathrm{x}=-1;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ -13\mathrm{x}-300=-1;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ -13\mathrm{x}=-1+300;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ -13\mathrm{x}=299;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ \mathrm{x}=\frac{299}{-13};\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=20+\mathrm{x};\\ \mathrm{x}=-23;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-23;\\ \mathrm{y}=20+(-23);\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-23;\\ \mathrm{y}=-3.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (-23; -3).

$\mathbf{е}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}25-\mathrm{x}=-4\mathrm{y};\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=30;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ 3·(25+4\mathrm{y})-2\mathrm{y}=30;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ 75+12\mathrm{y}-2\mathrm{y}=30;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ 75+10\mathrm{y}=30;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ 10\mathrm{y}=30-75;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ 10\mathrm{y}=-4,5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4\mathrm{y};\\ \mathrm{y}=-4,5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25+4·(-4,5);\\ \mathrm{y}=-4,5;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=25-18;\\ \mathrm{y}=-4,5;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7;\\ \mathrm{y}=-4,5.\end{array}\right.\right.$

Ответ: (7; -4,5).

Решение 2.

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y - 2x = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases} $
Для решения системы удобно использовать метод сложения. Для этого изменим порядок слагаемых в первом уравнении: $ \begin{cases} -2x + y = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases} $
Теперь сложим два уравнения почленно. Переменная $y$ при этом сократится:
$(-2x + y) + (6x - y) = 1 + 7$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4} = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$y - 2 \cdot 2 = 1$
$y - 4 = 1$
$y = 1 + 4 = 5$
Решением системы является пара чисел $(2, 5)$.
Ответ: $(2, 5)$

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ x - 2y = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 5 + 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$7(5 + 2y) - 3y = 13$
$35 + 14y - 3y = 13$
$11y = 13 - 35$
$11y = -22$
$y = \frac{-22}{11} = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y = -2$ в выражение для $x$:
$x = 5 + 2(-2)$
$x = 5 - 4 = 1$
Решением системы является пара чисел $(1, -2)$.
Ответ: $(1, -2)$

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 6 \\ 3x - 5y = 2 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 6 - x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x - 5(6 - x) = 2$
$3x - 30 + 5x = 2$
$8x = 2 + 30$
$8x = 32$
$x = \frac{32}{8} = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в выражение для $y$:
$y = 6 - 4 = 2$
Решением системы является пара чисел $(4, 2)$.
Ответ: $(4, 2)$

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 4x - 11$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$6x - 2(4x - 11) = 13$
$6x - 8x + 22 = 13$
$-2x = 13 - 22$
$-2x = -9$
$x = \frac{-9}{-2} = 4.5$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4.5$ в выражение для $y$:
$y = 4(4.5) - 11$
$y = 18 - 11 = 7$
Решением системы является пара чисел $(4.5, 7)$.
Ответ: $(4.5, 7)$

д) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x = 20 \\ 2x - 15y = -1 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 20 + x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x - 15(20 + x) = -1$
$2x - 300 - 15x = -1$
$-13x = 300 - 1$
$-13x = 299$
$x = \frac{299}{-13} = -23$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=-23$ в выражение для $y$:
$y = 20 + (-23) = -3$
Решением системы является пара чисел $(-23, -3)$.
Ответ: $(-23, -3)$

е) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 25 - x = -4y \\ 3x - 2y = 30 \end{cases} $
Приведем первое уравнение к более удобному для подстановки виду, выразив $x$:
$25 + 4y = x$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$3(25 + 4y) - 2y = 30$
$75 + 12y - 2y = 30$
$10y = 30 - 75$
$10y = -45$
$y = \frac{-45}{10} = -4.5$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=-4.5$ в выражение для $x$:
$x = 25 + 4(-4.5)$
$x = 25 - 18 = 7$
Решением системы является пара чисел $(7, -4.5)$.
Ответ: $(7, -4.5)$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.