Страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1095. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по соответствующей формуле:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2) = 4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(4x^2 + 4x^2) + (-12xy + 12xy) + (9y^2 + 9y^2) = 8x^2 + 0 + 18y^2 = 8x^2 + 18y^2$

Ответ: $8x^2 + 18y^2$.

б) Для упрощения выражения $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$ воспользуемся теми же формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Раскроем скобки, как и в предыдущем пункте:

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (12xy + 12xy) + (9y^2 - 9y^2) = 0 + 24xy + 0 = 24xy$

Ответ: $24xy$.

в) Упростим выражение $2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 + (2x - y)^2$.

Сначала преобразуем первое слагаемое. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 = 2 \left( (\frac{x}{2})^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + (\frac{y}{4})^2 \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{2xy}{8} + \frac{y^2}{16} \right) = 2 \left( \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16} \right)$

Теперь умножим каждый член в скобках на 2:

$2 \cdot \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{xy}{4} + 2 \cdot \frac{y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}$

Далее раскроем второе слагаемое по формуле квадрата разности:

$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

Сложим полученные выражения:

$(\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}) + (4x^2 - 4xy + y^2) = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} + 4x^2 - 4xy + y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, приводя дроби к общему знаменателю:

$(\frac{x^2}{2} + 4x^2) + (\frac{xy}{2} - 4xy) + (\frac{y^2}{8} + y^2) = (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{8}{2})xy + (\frac{1}{8} + \frac{8}{8})y^2 = \frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$

Ответ: $\frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2$.

г) Упростим выражение $3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 - (3x - y)^2$.

Раскроем скобки в уменьшаемом, используя формулу квадрата суммы и умножая на 3:

$3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 = 3 \left( (\frac{x}{3})^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + (\frac{y}{9})^2 \right) = 3 \left( \frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81} \right)$

$= \frac{3x^2}{9} + \frac{3 \cdot 2xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}$

Раскроем скобки в вычитаемом по формуле квадрата разности:

$(3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

Теперь выполним вычитание:

$(\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}) - (9x^2 - 6xy + y^2) = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{x^2}{3} - 9x^2) + (\frac{2xy}{9} + 6xy) + (\frac{y^2}{27} - y^2) = (\frac{1}{3} - \frac{27}{3})x^2 + (\frac{2}{9} + \frac{54}{9})xy + (\frac{1}{27} - \frac{27}{27})y^2$

$= -\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$

Ответ: $-\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2$.

1096. Разложите на множители:
а) х⁵ + 4а²х³ − 4ах⁴;
б) 4а⁶ − 12а⁵b + 9а⁴b².

а) $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$

Для разложения на множители данного многочлена первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Для всех членов многочлена общим множителем является $x^3$.

$x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4 = x^3(x^2 + 4a^2 - 4ax)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4a^2 - 4ax$. Для удобства переставим члены, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $x^2 - 4ax + 4a^2$.

Данное выражение представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.

В нашем случае можно положить, что $u = x$ и $v = 2a$. Проверим, соответствует ли наш трехчлен этой формуле:

Первый член: $u^2 = x^2$.

Третий член: $v^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2uv = 2 \cdot x \cdot 2a = 4ax$.

Таким образом, $x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в наше разложение:

$x^3(x - 2a)^2$

Ответ: $x^3(x - 2a)^2$

б) $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Общим множителем является $a^4$.

$4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 = a^4(4a^2 - 12ab + 9b^2)$

Рассмотрим выражение, оставшееся в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$.

Это выражение также является полным квадратом разности. Применим формулу $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.

В данном случае положим $u = 2a$ и $v = 3b$. Выполним проверку:

Первый член: $u^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Третий член: $v^2 = (3b)^2 = 9b^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2uv = 2 \cdot 2a \cdot 3b = 12ab$.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть по формуле: $4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.

Подставим это в наше разложение:

$a^4(2a - 3b)^2$

Ответ: $a^4(2a - 3b)^2$

1097. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой у = х² − 4х + 5, расположены в верхней полуплоскости.

Чтобы доказать, что все точки графика функции $y = x^2 - 4x + 5$ расположены в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ значение ординаты $y$ является положительным, то есть $y > 0$.

Для этого преобразуем правую часть уравнения функции, применив метод выделения полного квадрата.

$y = x^2 - 4x + 5$

Чтобы выделить полный квадрат, представим $5$ как $4+1$. Это позволит нам сгруппировать слагаемые для формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y = x^2 - 4x + 4 + 1$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 1$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-2)^2$. Таким образом, функция принимает вид:

$y = (x - 2)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(x-2)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

2. Наименьшее значение выражения $(x-2)^2$ равно 0 и достигается при $x=2$.

3. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 1 = 1$. Для всех остальных значений $x$ значение $y$ будет строго больше 1. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $y \ge 1$.

Поскольку наименьшее значение функции равно 1, а $1 > 0$, то все значения ординаты $y$ для любой точки графика являются положительными. Это доказывает, что все точки графика данной функции расположены выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в верхней полуплоскости.

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = (x - 2)^2 + 1$ путем выделения полного квадрата. Так как выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно ($(x - 2)^2 \ge 0$), то наименьшее значение функции $y$ равно $0 + 1 = 1$. Поскольку минимальное значение функции положительно ($1 > 0$), все значения $y$ также положительны. Следовательно, все точки графика функции расположены в верхней полуплоскости, что и требовалось доказать.