Номер 1078, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1078, страница 212.

Условие.

1078. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{y}-\mathrm{x}=12\\ 3\mathrm{y}+\mathrm{x}=-3\end{array} \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{y}=12+\mathrm{x}\\ 3\mathrm{y}=-3-\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3+\frac{1}{4}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=-1-\frac{1}{3}\mathrm{x}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=\frac{1}{4}; {\mathrm{k}}_2=-\frac{1}{3}$

Значит, прямые пересекаются.

Ответ: имеет единственное решение.

$\mathbf{б}\mathbf{) }\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-3\mathrm{x}=0\\ 3\mathrm{y}-\mathrm{x}=6\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}\\ 3\mathrm{y}=6+\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=2+\frac{1}{3}\mathrm{x}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=3; {\mathrm{k}}_2=\frac{1}{3}$

Значит, прямые пересекаются.

Ответ: имеет единственное решение.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}1,5\mathrm{x}=1\\ -3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=-2\end{array} \left\{\begin{array}{l}1,5\mathrm{x}+0·\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{y}=-2+3\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{1}{1,5}\\ \mathrm{y}=-1+1,5\mathrm{x}\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{10}{15}\\ \mathrm{y}=-1+1,5\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{y}=-1+1,5\mathrm{x}\end{array}\right.$

Графиком первого уравнения системы является прямая, параллельная оси y. График второго уравнения системы проходит через I и III четверти. Графики пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: имеет единственное решение.

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\\ \mathrm{y}=-0,5\mathrm{x}\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{y}=3-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=-0,5\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=1,5-0,5\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=-0,5\mathrm{x}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=-0,5; {\mathrm{k}}_2=-0,5$

Значит, прямые параллельны.

Ответ: решений нет.

$\mathbf{д}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=11-2\mathrm{y}\\ 6\mathrm{y}=22-4\mathrm{x}\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{y}=11-2\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{22}{6}-\frac{4}{6}\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{11}{2}-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{11}{3}-\frac{2}{3}\mathrm{x}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=-1; {\mathrm{k}}_2=-\frac{2}{3}$

Значит, графики пересекаются.

Ответ: имеет единственное решение.

$\mathbf{е}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}+2\mathrm{y}=8\\ \mathrm{x}+4\mathrm{y}=10\end{array} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{y}=8+\mathrm{x}\\ 4\mathrm{y}=10-\mathrm{x}\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=4+\frac{1}{2}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=\frac{10}{4}-\frac{1}{4}\mathrm{x}\end{array}\right.$

${\mathrm{k}}_1=\frac{1}{2}; {\mathrm{k}}_2=-\frac{1}{4}$

Значит, графики пересекаются.

Ответ: имеет единственное решение.

Решение 2.

а) Запишем систему в стандартном виде $ax+by=c$: $ \begin{cases} -x + 4y = 12 \\ x + 3y = -3 \end{cases} $ Сравним отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$. Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{-1}{1} = -1 $. Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{4}{3} $. Поскольку $ -1 \neq \frac{4}{3} $, то есть $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, графики уравнений являются пересекающимися прямыми. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

б) Запишем систему в стандартном виде $ax+by=c$: $ \begin{cases} -3x + y = 0 \\ -x + 3y = 6 \end{cases} $ Сравним отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$. Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{-3}{-1} = 3 $. Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{1}{3} $. Поскольку $ 3 \neq \frac{1}{3} $, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

в) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 1.5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases} $ Из первого уравнения можно однозначно найти значение $x$: $x = \frac{1}{1.5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$. Подставив это значение $x$ во второе уравнение, мы получим линейное уравнение с одной переменной $y$, которое также будет иметь единственное решение: $ -3(\frac{2}{3}) + 2y = -2 \implies -2 + 2y = -2 \implies 2y = 0 \implies y = 0 $. Так как существует единственная пара значений $(x, y)$, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

г) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases} $ Выразим $y$ через $x$ в первом уравнении, чтобы привести его к виду $y=kx+b$: $ 2y = -x + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \implies y = -0.5x + 1.5 $. Второе уравнение уже имеет вид $ y = -0.5x $. Мы видим, что угловые коэффициенты в обоих уравнениях одинаковы ($k = -0.5$), а свободные члены различны ($1.5 \neq 0$). Это означает, что графики уравнений — параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Ответ: система не имеет решений.

д) Приведем оба уравнения к стандартному виду $ax+by=c$: Первое уравнение: $ 2x = 11 - 2y \implies 2x + 2y = 11 $. Второе уравнение: $ 6y = 22 - 4x \implies 4x + 6y = 22 $. Получаем систему: $ \begin{cases} 2x + 2y = 11 \\ 4x + 6y = 22 \end{cases} $ Сравним отношения коэффициентов: При $x$: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. При $y$: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Поскольку $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3} $, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

е) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10 \end{cases} $ Уравнения уже находятся в стандартном виде. Сравним отношения коэффициентов: При $x$: $ \frac{-1}{1} = -1 $. При $y$: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Поскольку $ -1 \neq \frac{1}{2} $, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.