Номер 1075, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. § 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1075, страница 212.

1075. Составьте какую−либо систему линейных уравнений с переменными х и у, решением которой служит пара:
а) х = 4, у = 1; б) х = 0, у = 3.

а) Чтобы составить систему линейных уравнений, решением которой является пара $x=4$ и $y=1$, нужно найти два различных линейных уравнения вида $ax+by=c$, которые обращаются в верные равенства при подстановке данных значений $x$ и $y$. Процесс можно описать так: мы выбираем произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно), подставляем в выражение $ax+by$ значения $x=4$ и $y=1$, и полученное число будет являться свободным членом $c$.

1. Составим первое уравнение. Возьмем самые простые коэффициенты: $a=1$ и $b=1$. Тогда левая часть уравнения — это $x+y$. Вычислим значение правой части $c_1$: $c_1 = 4+1=5$. Таким образом, первое уравнение: $x+y=5$.

2. Составим второе уравнение. Чтобы оно было линейно независимо от первого, возьмем другие коэффициенты, например, $a=1$ и $b=-1$. Левая часть уравнения — это $x-y$. Вычислим значение правой части $c_2$: $c_2 = 4-1=3$. Таким образом, второе уравнение: $x-y=3$.

В результате мы получили одну из возможных систем уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Можно легко проверить, что пара $(4; 1)$ действительно является решением этой системы, сложив два уравнения: $(x+y)+(x-y)=5+3$, что дает $2x=8$ или $x=4$. Подстановка $x=4$ в первое уравнение дает $4+y=5$, откуда $y=1$.

Ответ: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}$

б) Аналогичным образом составим систему, решением которой служит пара $x=0$ и $y=3$.

1. Для первого уравнения выберем коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Левая часть — $x+y$. Вычислим правую часть $c_1$: $c_1 = 0+3=3$. Первое уравнение: $x+y=3$.

2. Для второго уравнения выберем коэффициенты, например, $a=2$ и $b=1$. Левая часть — $2x+y$. Вычислим правую часть $c_2$: $c_2 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Второе уравнение: $2x+y=3$.

В результате получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Для проверки вычтем первое уравнение из второго: $(2x+y)-(x+y) = 3-3$, что дает $x=0$. Подстановка $x=0$ в первое уравнение дает $0+y=3$, откуда $y=3$. Решение верное.

Ответ: $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$