Страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1052. Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?

Пусть x — количество двухрублёвых монет, а y — количество пятирублёвых монет. Согласно условию задачи, общая сумма составляет 28 рублей. Мы можем составить следующее уравнение:

$$2x + 5y = 28$$

Где x и y должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют собой количество монет.

Выразим 2x из уравнения:

$$2x = 28 - 5y$$

Так как левая часть уравнения, $2x$, является чётным числом, то и правая часть, $28 - 5y$, также должна быть чётной. Поскольку 28 — чётное число, для выполнения этого условия необходимо, чтобы произведение $5y$ было чётным. Это возможно только если y — чётное число.

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$, что означает $28 - 5y \ge 0$.

$$5y \le 28$$

$$y \le \frac{28}{5}$$

$$y \le 5.6$$

Таким образом, нам нужно найти все целые, неотрицательные и чётные значения y, которые не превышают 5.6. Возможные значения для y: 0, 2, 4.

Рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее количество двухрублёвых монет x.

Случай 1: y = 0

Если пятирублёвых монет нет ($y=0$), то подставляем это значение в уравнение:

$$2x = 28 - 5 \cdot 0$$

$$2x = 28$$

$$x = 14$$

В этом случае было взято 14 двухрублёвых монет.

Случай 2: y = 2

Если было взято 2 пятирублёвые монеты ($y=2$):

$$2x = 28 - 5 \cdot 2$$

$$2x = 28 - 10$$

$$2x = 18$$

$$x = 9$$

В этом случае было взято 9 двухрублёвых монет.

Случай 3: y = 4

Если было взято 4 пятирублёвые монеты ($y=4$):

$$2x = 28 - 5 \cdot 4$$

$$2x = 28 - 20$$

$$2x = 8$$

$$x = 4$$

В этом случае было взято 4 двухрублёвые монеты.

Если взять следующее чётное значение $y=6$, то $5 \cdot 6 = 30$, что больше 28, и тогда x получится отрицательным, что невозможно.

Таким образом, задача имеет три возможных решения, так как в условии не дано дополнительных ограничений.

Ответ: Было взято 4, 9 или 14 двухрублёвых монет.

1053. Ученик купил тетради по 50 р. и карандаши по 70 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 440 р.?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество тетрадей, а $y$ — количество карандашей, которые купил ученик.

Из условия известно, что цена одной тетради составляет 50 р., а цена одного карандаша — 70 р. Общая сумма, потраченная на покупку, равна 440 р.

Составим математическое уравнение, которое описывает общую стоимость покупки: $50 \cdot x + 70 \cdot y = 440$

Поскольку количество тетрадей и карандашей может быть только целым положительным числом, нам необходимо найти решения этого уравнения в натуральных числах.

Для упрощения уравнения разделим обе его части на 10: $5x + 7y = 44$

Теперь решим это линейное диофантово уравнение. Можно использовать метод подбора, перебирая возможные значения для одной из переменных. Выразим $x$ через $y$: $5x = 44 - 7y$ $x = \frac{44 - 7y}{5}$

Так как $x$ (количество тетрадей) должно быть положительным числом, то $44 - 7y > 0$. Отсюда следует, что $7y < 44$, или $y < \frac{44}{7} \approx 6.28$. Также, чтобы $x$ был целым числом, выражение $(44 - 7y)$ должно делиться на 5 без остатка, то есть оканчиваться на 0 или 5.

Проверим все возможные целые значения $y$ от 1 до 6:

- При $y = 1$: $44 - 7 \cdot 1 = 37$. Не делится на 5.

- При $y = 2$: $44 - 7 \cdot 2 = 44 - 14 = 30$. Делится на 5. Находим $x = \frac{30}{5} = 6$. Это подходящее решение, так как $x=6$ и $y=2$ — натуральные числа.

- При $y = 3$: $44 - 7 \cdot 3 = 23$. Не делится на 5.

- При $y = 4$: $44 - 7 \cdot 4 = 16$. Не делится на 5.

- При $y = 5$: $44 - 7 \cdot 5 = 9$. Не делится на 5.

- При $y = 6$: $44 - 7 \cdot 6 = 2$. Не делится на 5.

Таким образом, единственное возможное решение — это $x=6$ и $y=2$. Значит, ученик купил 6 тетрадей и 2 карандаша.

Сделаем проверку: $6 \text{ тетрадей} \cdot 50 \text{ р.} + 2 \text{ карандаша} \cdot 70 \text{ р.} = 300 \text{ р.} + 140 \text{ р.} = 440 \text{ р.}$

Расчеты верны. Вопрос задачи: сколько тетрадей купил ученик.

Ответ: 6.

1054. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 3200 р. Глубокая тарелка стоит 350 р., а мелкая тарелка стоит 300 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купленных глубоких тарелок, а $y$ — количество купленных мелких тарелок. Поскольку количество тарелок может быть только целым положительным числом, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами.

Стоимость одной глубокой тарелки составляет 350 рублей, а одной мелкой — 300 рублей. Общая стоимость покупки — 3200 рублей. Мы можем составить уравнение на основе этих данных:

$350 \cdot x + 300 \cdot y = 3200$

Для упрощения решения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 10:

$35x + 30y = 320$

Теперь разделим обе части на 5:

$7x + 6y = 64$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому уравнению. Такой тип уравнений, где решения ищутся в целых числах, называется диофантовым уравнением. Мы можем решить его методом подбора, ограничив возможные значения переменных.

Выразим одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:

$7x = 64 - 6y$

$x = \frac{64 - 6y}{7}$

Так как $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным: $64 - 6y > 0$. Отсюда $6y < 64$, что означает $y < 10\frac{2}{3}$. Также, $y$ должно быть натуральным числом ($y \ge 1$). Следовательно, мы можем проверить все целые значения $y$ от 1 до 10. Нам нужно найти такое значение $y$, при котором выражение $(64 - 6y)$ будет делиться на 7 без остатка.

Проведем перебор значений $y$:
- При $y=1$: $64 - 6(1) = 58$ (не делится на 7).
- При $y=2$: $64 - 6(2) = 52$ (не делится на 7).
- При $y=3$: $64 - 6(3) = 46$ (не делится на 7).
- При $y=4$: $64 - 6(4) = 40$ (не делится на 7).
- При $y=5$: $64 - 6(5) = 34$ (не делится на 7).
- При $y=6$: $64 - 6(6) = 28$. $28$ делится на 7. Тогда $x = \frac{28}{7} = 4$. Это решение ($x=4, y=6$) нам подходит, так как оба числа натуральные.
- При $y=7$: $64 - 6(7) = 22$ (не делится на 7).
- При $y=8$: $64 - 6(8) = 16$ (не делится на 7).
- При $y=9$: $64 - 6(9) = 10$ (не делится на 7).
- При $y=10$: $64 - 6(10) = 4$ (не делится на 7).

Таким образом, единственным решением в натуральных числах является $x=4$ (глубокие тарелки) и $y=6$ (мелкие тарелки).

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение стоимости: $350 \cdot 4 + 300 \cdot 6 = 1400 + 1800 = 3200$ рублей. Сумма совпадает с условием задачи, следовательно, решение верно.

Ответ: хозяйка купила 4 глубокие и 6 мелких тарелок.

1055. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?

Обозначим количество пакетов по 3 кг как x, а количество пакетов по 2 кг как y. Согласно условию задачи, общая масса муки должна составлять 20 кг. Это можно выразить уравнением:
$3x + 2y = 20$
Здесь x и y должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они представляют количество пакетов.

Чтобы найти возможные пары (x, y), выразим одну переменную через другую, например, y через x:
$2y = 20 - 3x$
$y = \frac{20 - 3x}{2} = 10 - \frac{3}{2}x$

Из этой формулы видно, что для того, чтобы y был целым числом, произведение $\frac{3}{2}x$ должно быть целым. Поскольку числа 3 и 2 взаимно просты, x должен быть делимым на 2, то есть x — чётное число.

Также учтём, что количество пакетов не может быть отрицательным:
$x \ge 0$
$y \ge 0 \implies 10 - \frac{3}{2}x \ge 0 \implies 10 \ge \frac{3}{2}x \implies 20 \ge 3x \implies x \le \frac{20}{3}$
Так как $\frac{20}{3} \approx 6.67$, то $x \le 6$.

Таким образом, x может принимать следующие чётные неотрицательные значения: 0, 2, 4, 6.
Теперь найдём соответствующие значения y для каждого возможного x:

1. Если $x = 0$:
$y = 10 - \frac{3}{2}(0) = 10$.
Это означает 0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг.

2. Если $x = 2$:
$y = 10 - \frac{3}{2}(2) = 10 - 3 = 7$.
Это означает 2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг.

3. Если $x = 4$:
$y = 10 - \frac{3}{2}(4) = 10 - 6 = 4$.
Это означает 4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг.

4. Если $x = 6$:
$y = 10 - \frac{3}{2}(6) = 10 - 9 = 1$.
Это означает 6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг.

Ответ:
Чтобы получить 20 кг муки, можно взять:
- 0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг;
- 2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг;
- 4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг;
- 6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг.

1056. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку, по 10 р. за каждую, и тетради в клетку, по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.
а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто − задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Обозначим количество тетрадей в линейку за $x$, а количество тетрадей в клетку — за $y$. Стоимость тетрадей в линейку составляет 10 рублей за штуку, а в клетку — 15 рублей. Общая сумма покупки — 320 рублей. Составим уравнение, исходя из условий задачи: $10x + 15y = 320$ где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Для удобства расчетов разделим обе части уравнения на 5: $2x + 3y = 64$

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

Если количество тетрадей одинаково, то $x = y$. Подставим это условие в исходное уравнение: $10x + 15x = 320$ $25x = 320$ $x = \frac{320}{25} = \frac{64}{5} = 12.8$ Поскольку количество тетрадей должно быть целым числом, а 12.8 — не целое число, купить одинаковое количество тетрадей в линейку и в клетку невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

Нам нужно найти все целочисленные неотрицательные решения уравнения $2x + 3y = 64$. Выразим $x$ через $y$: $2x = 64 - 3y$ $x = \frac{64 - 3y}{2} = 32 - 1.5y$ Чтобы $x$ был целым числом, выражение $1.5y$ должно быть целым, что возможно только если $y$ — четное число. Также, поскольку $x \ge 0$, должно выполняться неравенство $64 - 3y \ge 0$, откуда $3y \le 64$, то есть $y \le \frac{64}{3} \approx 21.33$. Таким образом, $y$ может быть любым четным числом от 0 до 20 включительно. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого возможного $y$:

• Если $y = 0$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 0 = 32$. Пара: (32; 0).
• Если $y = 2$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 2 = 29$. Пара: (29; 2).
• Если $y = 4$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 4 = 26$. Пара: (26; 4).
• Если $y = 6$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 6 = 23$. Пара: (23; 6).
• Если $y = 8$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 8 = 20$. Пара: (20; 8).
• Если $y = 10$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 10 = 17$. Пара: (17; 10).
• Если $y = 12$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 12 = 14$. Пара: (14; 12).
• Если $y = 14$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 14 = 11$. Пара: (11; 14).
• Если $y = 16$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 16 = 8$. Пара: (8; 16).
• Если $y = 18$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 18 = 5$. Пара: (5; 18).
• Если $y = 20$, то $x = 32 - 1.5 \cdot 20 = 2$. Пара: (2; 20).

Пары указаны в формате (количество тетрадей в линейку; количество тетрадей в клетку).
Ответ: (32; 0), (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которое можно купить при указанном условии.

Нужно найти максимальное значение суммы $S = x + y$. Используя выражение $x = 32 - 1.5y$ из пункта б), подставим его в формулу для $S$: $S(y) = (32 - 1.5y) + y = 32 - 0.5y$ Чтобы максимизировать $S$, необходимо минимизировать $y$. Минимальное возможное значение для $y$ равно 0. При $y = 0$, $x = 32$. Общее количество тетрадей: $S = 32 + 0 = 32$. Это означает, что для получения максимального количества тетрадей нужно покупать только более дешевые тетради (в линейку).
Ответ: 32 тетради.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которое можно купить при указанном условии.

Нужно найти минимальное значение суммы $S = x + y$. Из анализа в пункте в) мы знаем, что $S(y) = 32 - 0.5y$. Чтобы минимизировать $S$, необходимо максимизировать $y$. Максимальное возможное значение для $y$ (согласно решению из пункта б)) равно 20. При $y = 20$, $x = 2$. Общее количество тетрадей: $S = 2 + 20 = 22$. Это означает, что для получения минимального количества тетрадей нужно покупать как можно больше более дорогих тетрадей (в клетку).
Ответ: 22 тетради.

1057. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда его значение можно представить в виде $10a + b$. Важно отметить, что $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ — любой цифрой от 0 до 9.

После перестановки цифр мы получаем новое число, у которого $b$ становится цифрой десятков, а $a$ — цифрой единиц. Значение этого нового числа равно $10b + a$.

Согласно условию задачи, новое число на 54 больше исходного. Мы можем записать это в виде уравнения:

$(10b + a) = (10a + b) + 54$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все переменные в левую часть:

$10b + a - 10a - b = 54$

Приведем подобные слагаемые:

$9b - 9a = 54$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы его упростить:

$b - a = 6$

Это уравнение показывает, что цифра единиц $b$ на 6 больше цифры десятков $a$. Теперь нам нужно найти все пары цифр $(a, b)$, которые удовлетворяют этому условию.

Рассмотрим возможные значения для $a$ (от 1 до 9):

1. Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Получаем число 17. Проверим: новое число — 71. Разница: $71 - 17 = 54$. Это решение подходит.

2. Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Получаем число 28. Проверим: новое число — 82. Разница: $82 - 28 = 54$. Это решение также подходит.

3. Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Получаем число 39. Проверим: новое число — 93. Разница: $93 - 39 = 54$. И это решение подходит.

Если мы попробуем взять $a = 4$, то $b = 4 + 6 = 10$. Так как 10 не является цифрой, это и все последующие значения для $a$ не дадут верных решений.

Таким образом, мы нашли три числа, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 17, 28, 39.

1058. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 − остаток 2.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. По условию задачи, это число должно одновременно удовлетворять двум требованиям.

1. При делении на 5 число $N$ даёт в остатке 1.
Это значит, что $N$ можно представить в виде $N = 5k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (частное). Выпишем последовательно несколько таких чисел, начиная с наименьшего (при $k=0, 1, 2, \ldots$):
$5 \cdot 0 + 1 = 1$
$5 \cdot 1 + 1 = 6$
$5 \cdot 2 + 1 = 11$
$5 \cdot 3 + 1 = 16$
$5 \cdot 4 + 1 = 21$
$5 \cdot 5 + 1 = 26$
$5 \cdot 6 + 1 = 31$
И так далее. Получаем ряд чисел: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, ...

2. При делении на 6 число $N$ даёт в остатке 2.
Теперь будем проверять по порядку числа из полученного выше ряда, чтобы найти среди них первое, которое удовлетворяет этому второму условию.

- Проверяем число 1: $1$ при делении на $6$ даёт остаток $1$ ($1 = 6 \cdot 0 + 1$). Не подходит.
- Проверяем число 6: $6$ при делении на $6$ даёт остаток $0$ ($6 = 6 \cdot 1 + 0$). Не подходит.
- Проверяем число 11: $11$ при делении на $6$ даёт остаток $5$ ($11 = 6 \cdot 1 + 5$). Не подходит.
- Проверяем число 16: $16$ при делении на $6$ даёт остаток $4$ ($16 = 6 \cdot 2 + 4$). Не подходит.
- Проверяем число 21: $21$ при делении на $6$ даёт остаток $3$ ($21 = 6 \cdot 3 + 3$). Не подходит.
- Проверяем число 26: $26$ при делении на $6$ даёт остаток $2$ ($26 = 6 \cdot 4 + 2$). Подходит!

Поскольку мы перебирали числа в порядке возрастания, первое найденное число, удовлетворяющее обоим условиям, и является наименьшим.

Ответ: 26

1059. Найдите значение выражения:
а) 2с(с − 4)² − с²(2с − 10) при с = 0,2;
б) (а − 4b)(4b + а) при а = 1,2, b = −0,6;
в) 3p(1 + 0,1p)² − 0,6p² при p = −2.

а) Найдем значение выражения $2c(c - 4)^2 - c^2(2c - 10)$ при $c = 0,2$.

Сначала упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и распределительный закон умножения.

$2c(c - 4)^2 - c^2(2c - 10) = 2c(c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2) - c^2 \cdot 2c - c^2 \cdot (-10)$

$= 2c(c^2 - 8c + 16) - 2c^3 + 10c^2$

$= 2c \cdot c^2 + 2c \cdot (-8c) + 2c \cdot 16 - 2c^3 + 10c^2$

$= 2c^3 - 16c^2 + 32c - 2c^3 + 10c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2c^3 - 2c^3) + (-16c^2 + 10c^2) + 32c = -6c^2 + 32c$.

Теперь подставим значение $c = 0,2$ в полученное упрощенное выражение:

$-6c^2 + 32c = -6 \cdot (0,2)^2 + 32 \cdot 0,2 = -6 \cdot 0,04 + 6,4 = -0,24 + 6,4 = 6,16$.

Ответ: 6,16.

б) Найдем значение выражения $(a - 4b)(4b + a)$ при $a = 1,2$ и $b = -0,6$.

Упростим выражение, поменяв слагаемые во второй скобке местами: $(a - 4b)(a + 4b)$.

Это выражение является формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу:

$(a - 4b)(a + 4b) = a^2 - (4b)^2 = a^2 - 16b^2$.

Теперь подставим числовые значения $a = 1,2$ и $b = -0,6$ в упрощенное выражение:

$a^2 - 16b^2 = (1,2)^2 - 16 \cdot (-0,6)^2 = 1,44 - 16 \cdot 0,36$.

Вычислим произведение $16 \cdot 0,36 = 5,76$.

Тогда $1,44 - 5,76 = -4,32$.

Ответ: -4,32.

в) Найдем значение выражения $3p(1 + 0,1p)^2 - 0,6p^2$ при $p = -2$.

Сначала упростим выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$3p(1 + 0,1p)^2 - 0,6p^2 = 3p(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 0,1p + (0,1p)^2) - 0,6p^2$

$= 3p(1 + 0,2p + 0,01p^2) - 0,6p^2$

Раскроем скобки:

$3p \cdot 1 + 3p \cdot 0,2p + 3p \cdot 0,01p^2 - 0,6p^2 = 3p + 0,6p^2 + 0,03p^3 - 0,6p^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$3p + (0,6p^2 - 0,6p^2) + 0,03p^3 = 3p + 0,03p^3$.

Теперь подставим значение $p = -2$ в полученное выражение:

$3p + 0,03p^3 = 3 \cdot (-2) + 0,03 \cdot (-2)^3 = -6 + 0,03 \cdot (-8) = -6 - 0,24 = -6,24$.

Ответ: -6,24.

1060. Разложите на множители:
а) 1 + а − а² − а³;
б) 8 − b³ + 4b − 2b².

а) $1 + a - a^2 - a^3$

Для разложения на множители многочлена $1 + a - a^2 - a^3$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(1 + a) + (-a^2 - a^3)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из второй группы $(-a^2 - a^3)$ вынесем за скобки $-a^2$:

$(1 + a) - a^2(1 + a)$

Теперь мы видим общий множитель $(1 + a)$, который можно вынести за скобки:

$(1 + a)(1 - a^2)$

Выражение в скобках $(1 - a^2)$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(1 + a)(1 - a)(1 + a) = (1 - a)(1 + a)^2$

Ответ: $(1 - a)(1 + a)^2$

б) $8 - b^3 + 4b - 2b^2$

Для разложения на множители многочлена $8 - b^3 + 4b - 2b^2$ также используем метод группировки. Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их:

$(8 - b^3) + (4b - 2b^2)$

Разложим на множители каждую группу. Первая группа $(8 - b^3)$ — это разность кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$8 - b^3 = 2^3 - b^3 = (2 - b)(2^2 + 2 \cdot b + b^2) = (2 - b)(4 + 2b + b^2)$

Из второй группы $(4b - 2b^2)$ вынесем общий множитель $2b$:

$4b - 2b^2 = 2b(2 - b)$

Теперь подставим разложенные группы обратно в исходное выражение:

$(2 - b)(4 + 2b + b^2) + 2b(2 - b)$

Мы видим общий множитель $(2 - b)$, вынесем его за скобки:

$(2 - b)((4 + 2b + b^2) + 2b)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$4 + 2b + b^2 + 2b = b^2 + 4b + 4$

Выражение $b^2 + 4b + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$b^2 + 4b + 4 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = (b + 2)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(2 - b)(b + 2)^2$ или $(2 - b)(2 + b)^2$

Ответ: $(2 - b)(2 + b)^2$