Страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1009. Докажите, что функция, заданная формулой у = (2х − 5)(3 + 8х) − (1 − 4х)², линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка А(−1; 10); точка В(0; 16)?

Докажите, что функция, заданная формулой $y=(2x-5)(3+8x)-(1-4x)^2$, линейная.

Линейная функция имеет общий вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа. Чтобы доказать, что данная функция является линейной, необходимо упростить ее формулу и привести к этому виду.

1. Раскроем произведение многочленов $(2x-5)(3+8x)$:

$(2x-5)(3+8x) = 2x \cdot 3 + 2x \cdot 8x - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 8x = 6x + 16x^2 - 15 - 40x$.

Приведем подобные слагаемые: $16x^2 + (6x - 40x) - 15 = 16x^2 - 34x - 15$.

2. Возведем в квадрат двучлен $(1-4x)$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(1-4x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4x + (4x)^2 = 1 - 8x + 16x^2$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение функции:

$y = (16x^2 - 34x - 15) - (1 - 8x + 16x^2)$.

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними, и приведем подобные слагаемые:

$y = 16x^2 - 34x - 15 - 1 + 8x - 16x^2$

$y = (16x^2 - 16x^2) + (-34x + 8x) + (-15 - 1)$

$y = 0 \cdot x^2 - 26x - 16$

$y = -26x - 16$.

Полученное уравнение $y = -26x - 16$ является уравнением линейной функции, где угловой коэффициент $k=-26$, а свободный член $b=-16$. Таким образом, доказано, что исходная функция является линейной.

Ответ: Функция является линейной, так как после упрощения ее формула принимает вид $y = -26x - 16$.

Принадлежит ли графику этой функции точка A(-1; 10); точка B(0; 16)?

Для проверки принадлежности точки графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в упрощенное уравнение функции $y = -26x - 16$. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Проверим точку A(-1; 10). Подставим $x=-1$ и $y=10$:

$10 = -26 \cdot (-1) - 16$

$10 = 26 - 16$

$10 = 10$

Равенство верное, следовательно, точка A(-1; 10) принадлежит графику функции.

Проверим точку B(0; 16). Подставим $x=0$ и $y=16$:

$16 = -26 \cdot 0 - 16$

$16 = 0 - 16$

$16 = -16$

Равенство неверное, следовательно, точка B(0; 16) не принадлежит графику функции.

Ответ: Точка A(-1; 10) принадлежит графику, а точка B(0; 16) не принадлежит.

1010. Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $(3n - 1)(n + 1) + (2n - 1)(n - 1) - (3n + 5)(n - 2)$ при $n = -3,5$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены.
1. $(3n - 1)(n + 1) = 3n \cdot n + 3n \cdot 1 - 1 \cdot n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + 3n - n - 1 = 3n^2 + 2n - 1$
2. $(2n - 1)(n - 1) = 2n \cdot n + 2n \cdot (-1) - 1 \cdot n - 1 \cdot (-1) = 2n^2 - 2n - n + 1 = 2n^2 - 3n + 1$
3. $(3n + 5)(n - 2) = 3n \cdot n + 3n \cdot (-2) + 5 \cdot n + 5 \cdot (-2) = 3n^2 - 6n + 5n - 10 = 3n^2 - n - 10$
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(3n^2 + 2n - 1) + (2n^2 - 3n + 1) - (3n^2 - n - 10)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3n^2 + 2n - 1 + 2n^2 - 3n + 1 - 3n^2 + n + 10$
Сгруппируем члены:
$(3n^2 + 2n^2 - 3n^2) + (2n - 3n + n) + (-1 + 1 + 10) = 2n^2 + 0 \cdot n + 10 = 2n^2 + 10$
Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $n = -3,5$:
$2 \cdot (-3,5)^2 + 10 = 2 \cdot 12,25 + 10 = 24,5 + 10 = 34,5$
Ответ: $34,5$

б) Чтобы найти значение выражения $(5y - 1)(2 - y) - (3y + 4)(1 - y) + (2y + 6)(y - 3)$ при $y = 4$, сначала упростим его. Раскроем скобки.
1. $(5y - 1)(2 - y) = 5y \cdot 2 + 5y \cdot (-y) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-y) = 10y - 5y^2 - 2 + y = -5y^2 + 11y - 2$
2. $(3y + 4)(1 - y) = 3y \cdot 1 + 3y \cdot (-y) + 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-y) = 3y - 3y^2 + 4 - 4y = -3y^2 - y + 4$
3. $(2y + 6)(y - 3) = 2y \cdot y + 2y \cdot (-3) + 6 \cdot y + 6 \cdot (-3) = 2y^2 - 6y + 6y - 18 = 2y^2 - 18$
Подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(-5y^2 + 11y - 2) - (-3y^2 - y + 4) + (2y^2 - 18)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знаки, и приведем подобные слагаемые:
$-5y^2 + 11y - 2 + 3y^2 + y - 4 + 2y^2 - 18$
Сгруппируем члены:
$(-5y^2 + 3y^2 + 2y^2) + (11y + y) + (-2 - 4 - 18) = 0 \cdot y^2 + 12y - 24 = 12y - 24$
Теперь подставим значение $y=4$ в упрощенное выражение:
$12 \cdot 4 - 24 = 48 - 24 = 24$
Ответ: $24$

1011. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо это выражение упростить. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочленов, а затем приведем подобные слагаемые.
$(a-3)(a^2-8a+5)-(a-8)(a^2-3a+5)$
Раскроем первую пару скобок:
$(a-3)(a^2-8a+5) = a(a^2-8a+5) - 3(a^2-8a+5) = a^3-8a^2+5a-3a^2+24a-15 = a^3-11a^2+29a-15$
Раскроем вторую пару скобок:
$(a-8)(a^2-3a+5) = a(a^2-3a+5) - 8(a^2-3a+5) = a^3-3a^2+5a-8a^2+24a-40 = a^3-11a^2+29a-40$
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^3-11a^2+29a-15) - (a^3-11a^2+29a-40) = a^3-11a^2+29a-15 - a^3+11a^2-29a+40$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3-a^3) + (-11a^2+11a^2) + (29a-29a) + (-15+40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$
В результате упрощения мы получили число 25. Это означает, что значение исходного выражения является постоянным и не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 25.

б) Аналогично предыдущему пункту, упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$(x^2-3x+2)(2x+5)-(2x^2+7x+17)(x-4)$
Раскроем первую пару скобок:
$(x^2-3x+2)(2x+5) = x^2(2x+5) - 3x(2x+5) + 2(2x+5) = 2x^3+5x^2-6x^2-15x+4x+10 = 2x^3-x^2-11x+10$
Раскроем вторую пару скобок:
$(2x^2+7x+17)(x-4) = 2x^2(x-4) + 7x(x-4) + 17(x-4) = 2x^3-8x^2+7x^2-28x+17x-68 = 2x^3-x^2-11x-68$
Вычтем второе выражение из первого:
$(2x^3-x^2-11x+10) - (2x^3-x^2-11x-68) = 2x^3-x^2-11x+10 - 2x^3+x^2+11x+68$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^3-2x^3) + (-x^2+x^2) + (-11x+11x) + (10+68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$
В результате упрощения мы получили число 78. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 78.

1012. Докажите тождество

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части к одному и тому же виду.

Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$
Раскроем скобки во втором слагаемом и сгруппируем члены:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2) + ab(c^2 + d^2)$
Вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$ за скобку:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd - ab) + ab(c^2 + d^2)$
Упростим выражение в первой скобке:
$= (a^2 + b^2)cd + ab(c^2 + d^2)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Преобразуем правую часть равенства:
$(ac + bd)(ad + bc)$
Раскроем скобки, перемножив двучлены по правилу "каждый член первого на каждый член второго":
$= (ac)(ad) + (ac)(bc) + (bd)(ad) + (bd)(bc)$
Выполним умножение:
$= a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$
Переставим слагаемые для удобства сравнения с результатом левой части:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как обе части равенства после преобразований тождественно равны выражению $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.

1013. Докажите, что значение выражения

при любых значениях a, b и c равно 0.

Чтобы доказать, что значение выражения равно 0 при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$, мы упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

Раскроем последовательно каждое произведение многочленов.

Первое слагаемое: $(b + c - 2a)(c - b) = bc - b^2 + c^2 - bc - 2ac + 2ab$. После приведения подобных слагаемых ($bc$ и $-bc$) получаем: $c^2 - b^2 - 2ac + 2ab$.

Второе слагаемое: $(c + a - 2b)(a - c) = ac - c^2 + a^2 - ac - 2ab + 2bc$. После приведения подобных слагаемых ($ac$ и $-ac$) получаем: $a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

Третье слагаемое (вычитаемое): $(a + b - 2c)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 - 2ac + 2bc$. После приведения подобных слагаемых ($-ab$ и $ab$) получаем: $a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное, учитывая знак минус перед третьим слагаемым:

$(c^2 - b^2 - 2ac + 2ab) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) - (a^2 - b^2 - 2ac + 2bc)$

Раскроем скобки:

$c^2 - b^2 - 2ac + 2ab + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Таким образом, значение выражения действительно равно 0 при любых значениях $a$, $b$ и $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения равно 0.

1014. Упростите выражение:
а) (а + 8)² − 2(а + 8)(а − 2) + (а − 2)²;
б) (у − 7)² − 2(у − 7)(у − 9) + (у − 9)².

а) $(a + 8)^2 - 2(a + 8)(a - 2) + (a - 2)^2$

Данное выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

В данном случае в качестве $x$ выступает выражение $(a + 8)$, а в качестве $y$ — выражение $(a - 2)$.

Применим формулу:

$(a + 8)^2 - 2(a + 8)(a - 2) + (a - 2)^2 = ((a + 8) - (a - 2))^2$

Теперь упростим выражение в скобках. Раскроем внутренние скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$((a + 8) - (a - 2))^2 = (a + 8 - a + 2)^2$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(a - a + 8 + 2)^2 = (10)^2$

Возведем в квадрат:

$10^2 = 100$

Ответ: 100

б) $(y - 7)^2 - 2(y - 7)(y - 9) + (y - 9)^2$

Это выражение также является полным квадратом разности и соответствует формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Здесь $x = (y - 7)$ и $y = (y - 9)$.

Свернем выражение по формуле:

$(y - 7)^2 - 2(y - 7)(y - 9) + (y - 9)^2 = ((y - 7) - (y - 9))^2$

Упростим выражение, раскрыв внутренние скобки:

$((y - 7) - (y - 9))^2 = (y - 7 - y + 9)^2$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(y - y - 7 + 9)^2 = (2)^2$

Вычислим квадрат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

1015. Упростите:

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно раскрыть все скобки, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую часть $2(a^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$2(a^2 - 1)^2 = 2((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2) = 2(a^4 - 2a^2 + 1) = 2a^4 - 4a^2 + 2$.

2. Раскроем вторую часть $-(a^2 + 3)(a^2 - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$-(a^2 + 3)(a^2 - 3) = -((a^2)^2 - 3^2) = -(a^4 - 9) = -a^4 + 9$.

3. Раскроем третью часть $-\frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$. Сначала перемножим многочлены в скобках:
$(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3) = a^2 \cdot 2a^2 + a^2 \cdot 3 + a \cdot 2a^2 + a \cdot 3 - 4 \cdot 2a^2 - 4 \cdot 3 = 2a^4 + 3a^2 + 2a^3 + 3a - 8a^2 - 12$.
Приведем подобные слагаемые: $2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12$.
Теперь умножим полученный многочлен на $-\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2}(2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12) = -a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6$.

4. Теперь сложим все полученные выражения:
$(2a^4 - 4a^2 + 2) + (-a^4 + 9) + (-a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6)$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^4 - a^4 - a^4) - a^3 + (-4a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + (2 + 9 + 6)$
$= 0 - a^3 + (-\frac{8}{2}a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + 17$
$= -a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

Ответ: $-a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m)$

Упростим данное выражение, раскрывая скобки по частям.

1. Раскроем первую часть $4(m^3 - 3)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$4(m^3 - 3)^2 = 4((m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot 3 + 3^2) = 4(m^6 - 6m^3 + 9) = 4m^6 - 24m^3 + 36$.

2. Раскроем вторую часть $-(m^2 - 6)(m^2 + 6)$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$-(m^2 - 6)(m^2 + 6) = -((m^2)^2 - 6^2) = -(m^4 - 36) = -m^4 + 36$.

3. Раскроем третью часть $-9(8 - m + m^2)(1 - m)$. Сначала перемножим многочлены:
$(8 - m + m^2)(1 - m) = 8(1 - m) - m(1 - m) + m^2(1 - m) = 8 - 8m - m + m^2 + m^2 - m^3$.
Приведем подобные слагаемые: $-m^3 + 2m^2 - 9m + 8$.
Теперь умножим полученный многочлен на $-9$:
$-9(-m^3 + 2m^2 - 9m + 8) = 9m^3 - 18m^2 + 81m - 72$.

4. Сложим все полученные выражения:
$(4m^6 - 24m^3 + 36) + (-m^4 + 36) + (9m^3 - 18m^2 + 81m - 72)$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней переменной $m$:
$4m^6 - m^4 + (-24m^3 + 9m^3) - 18m^2 + 81m + (36 + 36 - 72)$
$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m + 0$
$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

Ответ: $4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

1016. Представьте в виде многочлена

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, упростим каждый из трех множителей по очереди.

Рассмотрим первый множитель: $a(a + 2b) + b^2$. Раскрыв скобки, получим $a^2 + 2ab + b^2$. Это выражение является формулой квадрата суммы: $(a + b)^2$.

Рассмотрим второй множитель: $a(a - 2b) + b^2$. Раскрыв скобки, получим $a^2 - 2ab + b^2$. Это выражение является формулой квадрата разности: $(a - b)^2$.

Рассмотрим третий множитель: $(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2$. Сначала раскроем квадрат разности: $(a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2$. Приведя подобные слагаемые, получим $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$. Это, в свою очередь, является формулой квадрата суммы: $(a^2 + b^2)^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное произведение:

$(a + b)^2 (a - b)^2 (a^2 + b^2)^2$.

Используя свойство степени $(x^n y^n z^n = (xyz)^n)$, объединим выражение под одним знаком квадрата:

$((a + b)(a - b)(a^2 + b^2))^2$.

Упростим выражение в скобках. Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Выражение примет вид: $((a^2 - b^2)(a^2 + b^2))^2$.

Снова применим формулу разности квадратов: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.

В итоге получаем: $(a^4 - b^4)^2$.

Осталось раскрыть этот квадрат разности:

$(a^4)^2 - 2(a^4)(b^4) + (b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

Ответ: $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

1017. Докажите тождество:

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b)$.

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в выражение:

$(a + b)^2(a - b) - 2ab(-(a - b)) - 6ab(a - b) = (a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b)$.

Приведем подобные слагаемые, содержащие общий множитель $(a - b)$:

$(a + b)^2(a - b) + (2ab - 6ab)(a - b) = (a + b)^2(a - b) - 4ab(a - b)$.

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b) \cdot ((a + b)^2 - 4ab)$.

Теперь преобразуем выражение во второй скобке. Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(a - b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2)$.

Свернем выражение во второй скобке по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:

$(a - b) \cdot (a - b)^2 = (a - b)^3$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b)$.

Заметим, что $-a - b = -(a + b)$. Подставим это в выражение:

$(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-(a + b)) = (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a + b)(a - b)^2 + 4ab(a + b)$.

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b) \cdot ((a - b)^2 + 4ab)$.

Теперь преобразуем выражение во второй скобке. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(a + b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$.

Свернем выражение во второй скобке по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$:

$(a + b) \cdot (a + b)^2 = (a + b)^3$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

1018. Докажите тождество

Для доказательства данного тождества необходимо упростить левую часть выражения и показать, что она равна правой части.

Левая часть выражения: $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.

Рассмотрим поочередно каждое произведение в выражении.

Первое произведение $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$ представляет собой формулу суммы кубов. Вспомним формулу суммы кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Применим эту формулу, взяв $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 + b^2)( (a^2)^2 - (a^2)(b^2) + (b^2)^2 ) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.

Второе произведение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ представляет собой формулу разности квадратов. Вспомним формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу, взяв $x = a^3$ и $y = b^3$:

$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходное равенство:

$(a^6 + b^6) - (a^6 - b^6)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^6 + b^6 - a^6 + b^6 = (a^6 - a^6) + (b^6 + b^6) = 0 + 2b^6 = 2b^6$.

В результате упрощения левой части мы получили выражение $2b^6$, которое в точности равно правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть выражения $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ после упрощения равна $(a^6 + b^6) - (a^6 - b^6) = a^6 + b^6 - a^6 + b^6 = 2b^6$, что и требовалось доказать.

1019. Найдите значение выражения:
а) (у + 5)(у² − 5у + 25) − у(у² + 3) при у = −2;
б) х(х + 3)² − (х − 1)(х² + х + 1) при х = −4;
в) (2р − 1)(4р² + 2р + 1) − р(р − 1)(р + 1) при р = 1,5.

а) Чтобы найти значение выражения $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$ при $y = -2$, сначала упростим его.

Первая часть выражения, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25)$, является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=y$ и $b=5$.
Следовательно, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) = y^3 + 5^3 = y^3 + 125$.

Раскроем скобки во второй части выражения: $-y(y^2 + 3) = -y \cdot y^2 - y \cdot 3 = -y^3 - 3y$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(y^3 + 125) + (-y^3 - 3y) = y^3 + 125 - y^3 - 3y$.

Приведем подобные слагаемые: $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются.
Остается: $125 - 3y$.

Подставим значение $y = -2$ в упрощенное выражение:
$125 - 3(-2) = 125 + 6 = 131$.

Ответ: 131

б) Чтобы найти значение выражения $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$ при $x = -4$, сначала упростим его.

Рассмотрим первую часть $x(x + 3)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Теперь умножим на $x$: $x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Вторая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=x$ и $b=1$.
Следовательно, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1$.

Приведем подобные слагаемые: $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
Остается: $6x^2 + 9x + 1$.

Подставим значение $x = -4$ в упрощенное выражение:
$6(-4)^2 + 9(-4) + 1 = 6(16) - 36 + 1 = 96 - 36 + 1 = 60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

в) Чтобы найти значение выражения $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$ при $p = 1,5$, сначала упростим его.

Первая часть выражения, $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1)$, является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=2p$ и $b=1$.
Следовательно, $(2p - 1)((2p)^2 + 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p)^3 - 1^3 = 8p^3 - 1$.

Рассмотрим вторую часть $- p(p - 1)(p + 1)$. Выражение $(p-1)(p+1)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$(p - 1)(p + 1) = p^2 - 1^2 = p^2 - 1$.
Теперь умножим на $-p$: $-p(p^2 - 1) = -p^3 + p$.

Теперь объединим упрощенные части:
$(8p^3 - 1) + (-p^3 + p) = 8p^3 - 1 - p^3 + p$.

Приведем подобные слагаемые:
$(8p^3 - p^3) + p - 1 = 7p^3 + p - 1$.

Подставим значение $p = 1,5$ (или $p = \frac{3}{2}$) в упрощенное выражение:
$7(1,5)^3 + 1,5 - 1 = 7(\frac{3}{2})^3 + \frac{3}{2} - 1 = 7(\frac{27}{8}) + \frac{3}{2} - 1$.

Выполним вычисления:
$\frac{7 \cdot 27}{8} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{189}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{8}{8} = \frac{189}{8} + \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{189 + 12 - 8}{8} = \frac{193}{8}$.

Переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{193}{8} = 24,125$.

Ответ: 24,125

1022. в книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество (р² + cq²)(r² + cs²) = (рr + cqs)² + c(ps − qr)². Докажите его.

Для доказательства тождества $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2$ необходимо показать, что его левая и правая части равны. Сделаем это путем алгебраических преобразований каждой из частей.

Преобразование левой части (ЛЧ)

Раскроем скобки в левой части выражения, выполнив умножение многочленов:

ЛЧ = $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = p^2 \cdot r^2 + p^2 \cdot cs^2 + cq^2 \cdot r^2 + cq^2 \cdot cs^2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Преобразование правой части (ПЧ)

Раскроем скобки в правой части выражения. Для этого используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Сначала преобразуем первое слагаемое:

$(pr + cqs)^2 = (pr)^2 + 2(pr)(cqs) + (cqs)^2 = p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2$.

Затем преобразуем второе слагаемое:

$c(ps - qr)^2 = c((ps)^2 - 2(ps)(qr) + (qr)^2) = c(p^2s^2 - 2pqrs + q^2r^2) = cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти правую часть:

ПЧ = $(p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2) + (cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2cpqrs$ и $-2cpqrs$ взаимно уничтожаются:

ПЧ = $p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2$.

Для удобства сравнения с левой частью, сгруппируем слагаемые в том же порядке:

ПЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Сравнение

Мы получили следующие выражения для левой и правой частей:

ЛЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$

ПЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$

Поскольку выражения для левой и правой частей полностью совпадают, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано путем тождественных преобразований его левой и правой частей, которые привели к одному и тому же выражению.