Номер 1012, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1012, страница 198.

1012. Докажите тождество

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части к одному и тому же виду.

Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$
Раскроем скобки во втором слагаемом и сгруппируем члены:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2) + ab(c^2 + d^2)$
Вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$ за скобку:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd - ab) + ab(c^2 + d^2)$
Упростим выражение в первой скобке:
$= (a^2 + b^2)cd + ab(c^2 + d^2)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Преобразуем правую часть равенства:
$(ac + bd)(ad + bc)$
Раскроем скобки, перемножив двучлены по правилу "каждый член первого на каждый член второго":
$= (ac)(ad) + (ac)(bc) + (bd)(ad) + (bd)(bc)$
Выполним умножение:
$= a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$
Переставим слагаемые для удобства сравнения с результатом левой части:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как обе части равенства после преобразований тождественно равны выражению $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.