Номер 1012, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1012, страница 198.

Условие.

1012. Докажите тождество

Решение 1.

(a² + b²) (ab + cd) -
- ab(a² + b² - c² - d²) =
= (ac + bd) (ad + bc)

a³b + a²cd + ab³ + b²cd -
- a³b - ab³ + abc² + abd² =
= a²dc + abc² + abd² + b²cd

a²cd + b²cd + abc² + abd² =
= a²cd + abc² + abd² + b²cd,
что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части к одному и тому же виду.

Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$
Раскроем скобки во втором слагаемом и сгруппируем члены:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2) + ab(c^2 + d^2)$
Вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$ за скобку:
$= (a^2 + b^2)(ab + cd - ab) + ab(c^2 + d^2)$
Упростим выражение в первой скобке:
$= (a^2 + b^2)cd + ab(c^2 + d^2)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Преобразуем правую часть равенства:
$(ac + bd)(ad + bc)$
Раскроем скобки, перемножив двучлены по правилу "каждый член первого на каждый член второго":
$= (ac)(ad) + (ac)(bc) + (bd)(ad) + (bd)(bc)$
Выполним умножение:
$= a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$
Переставим слагаемые для удобства сравнения с результатом левой части:
$= a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как обе части равенства после преобразований тождественно равны выражению $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.