Номер 1018, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1018, страница 198.

Условие.

1018. Докажите тождество

Решение 1.

(a² + b²) (a⁴ - a²b² + b⁴) -
- (a³ - b³) (a³ + b³) = 2b⁶

(a²)³ + (b²)³ - ((a³)² - (b³)²) =
= a⁶ + b⁶ - a⁶ + b⁶ = 2b⁶.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества необходимо упростить левую часть выражения и показать, что она равна правой части.

Левая часть выражения: $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.

Рассмотрим поочередно каждое произведение в выражении.

Первое произведение $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$ представляет собой формулу суммы кубов. Вспомним формулу суммы кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Применим эту формулу, взяв $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 + b^2)( (a^2)^2 - (a^2)(b^2) + (b^2)^2 ) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.

Второе произведение $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ представляет собой формулу разности квадратов. Вспомним формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу, взяв $x = a^3$ и $y = b^3$:

$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходное равенство:

$(a^6 + b^6) - (a^6 - b^6)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^6 + b^6 - a^6 + b^6 = (a^6 - a^6) + (b^6 + b^6) = 0 + 2b^6 = 2b^6$.

В результате упрощения левой части мы получили выражение $2b^6$, которое в точности равно правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть выражения $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$ после упрощения равна $(a^6 + b^6) - (a^6 - b^6) = a^6 + b^6 - a^6 + b^6 = 2b^6$, что и требовалось доказать.