Номер 1022, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1022, страница 199.

1022. При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х² − 10х + 6)(2х + b):
а) не содержит х²;
б) имеет равные коэффициенты при х³ и при х?

Сначала раскроем скобки и приведём многочлен к стандартному виду, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = x^2(2x + b) - 10x(2x + b) + 6(2x + b) = 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b$

Теперь сгруппируем подобные члены:

$2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$

Теперь, имея многочлен в стандартном виде, мы можем найти значения $b$ для каждого условия.

а) не содержит $x^2$

Чтобы многочлен не содержал член $x^2$, коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю. В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен $(b - 20)$.

Составим и решим уравнение:

$b - 20 = 0$

$b = 20$

Ответ: $b = 20$.

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$

Коэффициент при $x^3$ равен $2$.

Коэффициент при $x$ равен $(12 - 10b)$.

Чтобы эти коэффициенты были равны, необходимо решить следующее уравнение:

$2 = 12 - 10b$

Перенесем члены уравнения:

$10b = 12 - 2$

$10b = 10$

$b = \frac{10}{10}$

$b = 1$

Ответ: $b = 1$.