Номер 1029, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1029, страница 199.

1029. Решите уравнение:
а) x³ + 3x² − 4x − 12 = 0;
б) 2m³ − m² − 18m + 9 = 0;
в) y³ − 6y² = 6 −y;
г) 2a³ + 3a² = 2a + 3.

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $-3; -2; 2$.

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0$

Решим это уравнение методом группировки. Сгруппируем слагаемые:

$(2m^3 - m^2) + (-18m + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2m - 1)$:

$(2m - 1)(m^2 - 9) = 0$

Второй множитель $(m^2 - 9)$ также является разностью квадратов:

$(2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

$2m - 1 = 0 \Rightarrow 2m = 1 \Rightarrow m_1 = \frac{1}{2}$

$m - 3 = 0 \Rightarrow m_2 = 3$

$m + 3 = 0 \Rightarrow m_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$.

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0$

Применим метод группировки:

$(y^3 - 6y^2) + (y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$y^2(y - 6) + 1(y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 6)$:

$(y - 6)(y^2 + 1) = 0$

Теперь рассмотрим каждый множитель:

1) $y - 6 = 0 \Rightarrow y_1 = 6$

2) $y^2 + 1 = 0 \Rightarrow y^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $6$.

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0$

Воспользуемся методом группировки:

$(2a^3 + 3a^2) - (2a + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$a^2(2a + 3) - 1(2a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2a + 3)$:

$(2a + 3)(a^2 - 1) = 0$

Множитель $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов:

$(2a + 3)(a - 1)(a + 1) = 0$

Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:

$2a + 3 = 0 \Rightarrow 2a = -3 \Rightarrow a_1 = -\frac{3}{2}$

$a - 1 = 0 \Rightarrow a_2 = 1$

$a + 1 = 0 \Rightarrow a_3 = -1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; -1; 1$.