Номер 1030, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1030, страница 199.

1030. Решите уравнение:
а) x³ − 2x² − x + 2 = 0;
б) y³ − y² = 16y − 16;
в) 2y³ − y² − 32y + 16 = 0;
г) 4x³ − 3x² = 4x − 3.

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) + (-x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 1; 2$.

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 - y^2) + (-16y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 1; 4$.

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2y^3 - y^2) + (-32y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2y - 1)$ за скобки:

$(2y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y_1 = 0.5$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 0.5; 4$.

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^3 - 3x^2) + (-4x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:

$(4x - 3)(x^2 - 1) = 0$

Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов:

$(4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{4} = 0.75$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0.75; 1$.