Номер 1030, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1030, страница 199.

Условие.

1030. Решите уравнение:
а) x³ − 2x² − x + 2 = 0;
б) y³ − y² = 16y − 16;
в) 2y³ − y² − 32y + 16 = 0;
г) 4x³ − 3x² = 4x − 3.

Решение 1.

а) x³ − 2x² − x + 2 = 0;
x²(x - 2) - (x - 2) = 0;
(x - 2) (x² - 1) = 0;
(x - 2) (x - 1) (x + 1) = 0;
x - 2 = 0;
x = 2 или
x - 1 = 0;
x = 1 или
x + 1 = 0;
x = -1.

Ответ: 2; 1; -1.

б) y³ − y² = 16y − 16;
y²(y - 1) = 16(y - 1);
y²(y - 1) - 16(y - 1) = 0;
(y - 1) (y² - 16) = 0;
(y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0;
y - 1 = 0;
y = 1 или
y - 4 = 0;
y = 4 или
y + 4 = 0;
y = -4.

Ответ: -4; 4; 1.

в) 2y³ − y² − 32y + 16 = 0;
(2y³ − y²) - (32y - 16) = 0;
y²(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0;
(2y - 1) (y² - 16) = 0;
(2y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0;
2y - 1 = 0;
2y = 1;
y = 0,5 или
y - 4 = 0;
y = 4 или
y + 4 = 0;
y = -4.

Ответ: 0,5; 4; -4.

г) 4x³ − 3x² = 4x − 3;
x²(4x - 3) - (4x - 3) = 0;
(4x - 3) (x² - 1) = 0;
(4x - 3) (x - 1) (x + 1) = 0;
4x - 3 = 0;
4x = 3;
$\mathrm{x}=\frac{3}{4} \mathrm{или}$
x - 1 = 0;
x = 1 или
x + 1 = 0;
x = -1.

$\mathbf{Ответ}\mathbf{:}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{.}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) + (-x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 1; 2$.

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 - y^2) + (-16y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 1; 4$.

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2y^3 - y^2) + (-32y + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2y - 1)$ за скобки:

$(2y - 1)(y^2 - 16) = 0$

Разложим $y^2 - 16$ как разность квадратов:

$(2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y_1 = 0.5$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_3 = -4$

Ответ: $-4; 0.5; 4$.

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^3 - 3x^2) + (-4x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:

$(4x - 3)(x^2 - 1) = 0$

Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов:

$(4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{4} = 0.75$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0.75; 1$.