Номер 1027, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1027, страница 199.

Условие.

1027. Разложите на множители:
а) 70а − 84b + 20аb − 24b²;
б) 21bс² − 6с − 3с³ + 42b;
в) 12у − 9у² + 36 − 3х²y;
г) 30а³ − 18a²b − 72b + 120а.

Решение 1.

а) 70а − 84b + 20аb − 24b² =
= (70a + 20ab) - (84b + 24b²) =
= 10a(7 + 2b) - 12b(7 + 2b) =
= (7 + 2b) (10a - 12b) =
= 2(7 + 2b) (5a - 6b);

б) 21bс² − 6с − 3с³ + 42b =
= (21bc² - 3c³) - (6c - 42b) =
= 3c²(7b - c) - 6(c - 7b) =
= 3c²(7b - c) + 6(7b - c) =
= (7b - c) (3c² + 6) =
= 3(7b - c) (c² + 2);

в) 12у − 9у² + 36 − 3х²y =
= (12y + 36) - (9x² + 3x²y) =
= 12(y + 3) - 3x²(3 + y) =
= (3 + y) (12 - 3x²) =
= (3 + y) (4 - x²) ⋅ 3 =
= 3(3 + y) (2 - x) (2 + x);

г) 30а³ − 18a²b − 72b + 120а =
= (30a³ + 120a) - (18a²b + 72b) =
= 30a(a² + 4) - 18b(a² + 4) =
= (a² + 4) (30a - 18b) =
= 6(a² + 4) (5a - 3b).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $70a - 84b + 20ab - 24b^2$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(70a - 84b) + (20ab - 24b^2)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Для первой скобки общим множителем является $14$, так как НОД(70, 84) = 14. Для второй скобки общим множителем является $4b$, так как НОД(20, 24) = 4, и в каждом члене есть переменная $b$.

$14(5a - 6b) + 4b(5a - 6b)$

Теперь у нас есть общий множитель в виде скобки $(5a - 6b)$. Вынесем его:

$(5a - 6b)(14 + 4b)$

Во второй скобке $(14 + 4b)$ можно вынести общий множитель $2$:

$2(7 + 2b)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2(5a - 6b)(7 + 2b)$

Ответ: $2(5a - 6b)(7 + 2b)$

б) $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$

Для удобства сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(21bc^2 + 42b) + (-6c - 3c^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $21b$. Из второй скобки вынесем $-3c$.

$21b(c^2 + 2) - 3c(2 + c^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(c^2 + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(c^2 + 2)(21b - 3c)$

Во второй скобке $(21b - 3c)$ также есть общий множитель $3$. Вынесем его:

$3(7b - c)$

Собираем все вместе:

$3(c^2 + 2)(7b - c)$

Ответ: $3(c^2 + 2)(7b - c)$

в) $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с третьим, а второе с четвертым:

$(12y + 36) + (-9x^2 - 3x^2y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $12$. Из второй скобки вынесем $-3x^2$.

$12(y + 3) - 3x^2(3 + y)$

Общий множитель здесь — это $(y + 3)$. Вынесем его:

$(y + 3)(12 - 3x^2)$

Во второй скобке $(12 - 3x^2)$ есть общий множитель $3$:

$3(4 - x^2)$

Выражение принимает вид: $3(y + 3)(4 - x^2)$.

Скобка $(4 - x^2)$ является разностью квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$), где $a=2$ и $b=x$. Разложим ее на множители:

$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Окончательное разложение:

$3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

г) $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов многочлена. Коэффициенты 30, 18, 72, 120 делятся на 6. НОД(30, 18, 72, 120) = 6.

$6(5a^3 - 3a^2b - 12b + 20a)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$5a^3 + 20a - 3a^2b - 12b$

Сгруппируем их:

$(5a^3 + 20a) + (-3a^2b - 12b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $5a$. Из второй скобки вынесем $-3b$.

$5a(a^2 + 4) - 3b(a^2 + 4)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 + 4)$:

$(a^2 + 4)(5a - 3b)$

Не забудем про множитель $6$, который мы вынесли в самом начале. Окончательный вид выражения:

$6(a^2 + 4)(5a - 3b)$

Ответ: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$