Номер 1020, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1020, страница 198.

Условие.

1022. в книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество (р² + cq²)(r² + cs²) = (рr + cqs)² + c(ps − qr)². Докажите его.

Решение 1.

(р² + cq²)(r² + cs²) =
= (рr + cqs)² + c(ps − qr)²

p²r² + p²cs² + cq²r² + c²q²s² =
= p²r² + 2prcqs + c²q²s² +
+ c(p²s² - 2psqr + q²r²)

p²r² + p²cs² + cq²r² + c²q²s² =
= p²r² + 2prcqs + c²q²s² +
+ cp²s² - 2cpsqr + cq²r²

p²r² + p²cs² + cq²r² + c²q²s² =
= p²r² + c²q²s² + cp²s² + cq²r².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2$ необходимо показать, что его левая и правая части равны. Сделаем это путем алгебраических преобразований каждой из частей.

Преобразование левой части (ЛЧ)

Раскроем скобки в левой части выражения, выполнив умножение многочленов:

ЛЧ = $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = p^2 \cdot r^2 + p^2 \cdot cs^2 + cq^2 \cdot r^2 + cq^2 \cdot cs^2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Преобразование правой части (ПЧ)

Раскроем скобки в правой части выражения. Для этого используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Сначала преобразуем первое слагаемое:

$(pr + cqs)^2 = (pr)^2 + 2(pr)(cqs) + (cqs)^2 = p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2$.

Затем преобразуем второе слагаемое:

$c(ps - qr)^2 = c((ps)^2 - 2(ps)(qr) + (qr)^2) = c(p^2s^2 - 2pqrs + q^2r^2) = cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти правую часть:

ПЧ = $(p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2) + (cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2cpqrs$ и $-2cpqrs$ взаимно уничтожаются:

ПЧ = $p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2$.

Для удобства сравнения с левой частью, сгруппируем слагаемые в том же порядке:

ПЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Сравнение

Мы получили следующие выражения для левой и правой частей:

ЛЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$

ПЧ = $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$

Поскольку выражения для левой и правой частей полностью совпадают, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано путем тождественных преобразований его левой и правой частей, которые привели к одному и тому же выражению.