Номер 1013, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1013, страница 198.

Условие.

1013. Докажите, что значение выражения

при любых значениях a, b и c равно 0.

Решение 1.

(b + c - 2a) (c - b) + (c + a - 2b) ×
× (a - c) - (a + b - 2c) (a - b) =
= bc - b² + c² - bc - 2ac + 2ab +
+ ac - c² + a² - ac - 2ab + 2bc -
- (a² - ab + ab - 2ac + 2bc - b²) =
= -b² - 2ac + a² + 2bc - a² +
+2ac - 2bc + b² = 0.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения равно 0 при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$, мы упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(b + c - 2a)(c - b) + (c + a - 2b)(a - c) - (a + b - 2c)(a - b)$

Раскроем последовательно каждое произведение многочленов.

Первое слагаемое: $(b + c - 2a)(c - b) = bc - b^2 + c^2 - bc - 2ac + 2ab$. После приведения подобных слагаемых ($bc$ и $-bc$) получаем: $c^2 - b^2 - 2ac + 2ab$.

Второе слагаемое: $(c + a - 2b)(a - c) = ac - c^2 + a^2 - ac - 2ab + 2bc$. После приведения подобных слагаемых ($ac$ и $-ac$) получаем: $a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

Третье слагаемое (вычитаемое): $(a + b - 2c)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 - 2ac + 2bc$. После приведения подобных слагаемых ($-ab$ и $ab$) получаем: $a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное, учитывая знак минус перед третьим слагаемым:

$(c^2 - b^2 - 2ac + 2ab) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) - (a^2 - b^2 - 2ac + 2bc)$

Раскроем скобки:

$c^2 - b^2 - 2ac + 2ab + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Таким образом, значение выражения действительно равно 0 при любых значениях $a$, $b$ и $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения равно 0.