Номер 1017, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1017, страница 198.

Условие.

1017. Докажите тождество:

Решение 1.

а) (a + b)² (a - b) - 2ab(b - a) -
- 6ab(a - b) = (a - b)³

(a + b)² (a - b) + 2ab(a - b) -
- 6ab(a - b) = (a - b) ((a + b)² +
+ 2ab - 6ab) = (a - b) ×
×(a² + 2ab + b² - 4ab) =
= (a - b) (a² - 2ab + b²) =
= (a - b) (a - b)² = (a - b)³;

б) (a + b) (a - b)² + 2ab(a + b) -
- 2ab(-a - b) = (a + b)³

(a + b) (a - b)² + 2ab(a + b) +
+ 2ab(a + b) = (a + b) ((a - b)² +
+ 2ab + 2ab) =
= (a + b) (a² - 2ab + b² + 4ab) =
= (a + b) (a² + 2ab + b²) =
= (a + b) (a + b)² = (a + b)³.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b)$.

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в выражение:

$(a + b)^2(a - b) - 2ab(-(a - b)) - 6ab(a - b) = (a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b)$.

Приведем подобные слагаемые, содержащие общий множитель $(a - b)$:

$(a + b)^2(a - b) + (2ab - 6ab)(a - b) = (a + b)^2(a - b) - 4ab(a - b)$.

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b) \cdot ((a + b)^2 - 4ab)$.

Теперь преобразуем выражение во второй скобке. Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(a - b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2)$.

Свернем выражение во второй скобке по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:

$(a - b) \cdot (a - b)^2 = (a - b)^3$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b)$.

Заметим, что $-a - b = -(a + b)$. Подставим это в выражение:

$(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-(a + b)) = (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a + b)(a - b)^2 + 4ab(a + b)$.

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b) \cdot ((a - b)^2 + 4ab)$.

Теперь преобразуем выражение во второй скобке. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(a + b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$.

Свернем выражение во второй скобке по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$:

$(a + b) \cdot (a + b)^2 = (a + b)^3$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.