Номер 1015, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1015, страница 198.

1015. Упростите:

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно раскрыть все скобки, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую часть $2(a^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$2(a^2 - 1)^2 = 2((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2) = 2(a^4 - 2a^2 + 1) = 2a^4 - 4a^2 + 2$.

2. Раскроем вторую часть $-(a^2 + 3)(a^2 - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$-(a^2 + 3)(a^2 - 3) = -((a^2)^2 - 3^2) = -(a^4 - 9) = -a^4 + 9$.

3. Раскроем третью часть $-\frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$. Сначала перемножим многочлены в скобках:
$(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3) = a^2 \cdot 2a^2 + a^2 \cdot 3 + a \cdot 2a^2 + a \cdot 3 - 4 \cdot 2a^2 - 4 \cdot 3 = 2a^4 + 3a^2 + 2a^3 + 3a - 8a^2 - 12$.
Приведем подобные слагаемые: $2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12$.
Теперь умножим полученный многочлен на $-\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2}(2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12) = -a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6$.

4. Теперь сложим все полученные выражения:
$(2a^4 - 4a^2 + 2) + (-a^4 + 9) + (-a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6)$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a^4 - a^4 - a^4) - a^3 + (-4a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + (2 + 9 + 6)$
$= 0 - a^3 + (-\frac{8}{2}a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + 17$
$= -a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

Ответ: $-a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m)$

Упростим данное выражение, раскрывая скобки по частям.

1. Раскроем первую часть $4(m^3 - 3)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$4(m^3 - 3)^2 = 4((m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot 3 + 3^2) = 4(m^6 - 6m^3 + 9) = 4m^6 - 24m^3 + 36$.

2. Раскроем вторую часть $-(m^2 - 6)(m^2 + 6)$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$-(m^2 - 6)(m^2 + 6) = -((m^2)^2 - 6^2) = -(m^4 - 36) = -m^4 + 36$.

3. Раскроем третью часть $-9(8 - m + m^2)(1 - m)$. Сначала перемножим многочлены:
$(8 - m + m^2)(1 - m) = 8(1 - m) - m(1 - m) + m^2(1 - m) = 8 - 8m - m + m^2 + m^2 - m^3$.
Приведем подобные слагаемые: $-m^3 + 2m^2 - 9m + 8$.
Теперь умножим полученный многочлен на $-9$:
$-9(-m^3 + 2m^2 - 9m + 8) = 9m^3 - 18m^2 + 81m - 72$.

4. Сложим все полученные выражения:
$(4m^6 - 24m^3 + 36) + (-m^4 + 36) + (9m^3 - 18m^2 + 81m - 72)$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней переменной $m$:
$4m^6 - m^4 + (-24m^3 + 9m^3) - 18m^2 + 81m + (36 + 36 - 72)$
$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m + 0$
$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

Ответ: $4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.