Номер 1016, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1016, страница 198.

1016. Представьте в виде многочлена

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, упростим каждый из трех множителей по очереди.

Рассмотрим первый множитель: $a(a + 2b) + b^2$. Раскрыв скобки, получим $a^2 + 2ab + b^2$. Это выражение является формулой квадрата суммы: $(a + b)^2$.

Рассмотрим второй множитель: $a(a - 2b) + b^2$. Раскрыв скобки, получим $a^2 - 2ab + b^2$. Это выражение является формулой квадрата разности: $(a - b)^2$.

Рассмотрим третий множитель: $(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2$. Сначала раскроем квадрат разности: $(a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2$. Приведя подобные слагаемые, получим $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$. Это, в свою очередь, является формулой квадрата суммы: $(a^2 + b^2)^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное произведение:

$(a + b)^2 (a - b)^2 (a^2 + b^2)^2$.

Используя свойство степени $(x^n y^n z^n = (xyz)^n)$, объединим выражение под одним знаком квадрата:

$((a + b)(a - b)(a^2 + b^2))^2$.

Упростим выражение в скобках. Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Выражение примет вид: $((a^2 - b^2)(a^2 + b^2))^2$.

Снова применим формулу разности квадратов: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.

В итоге получаем: $(a^4 - b^4)^2$.

Осталось раскрыть этот квадрат разности:

$(a^4)^2 - 2(a^4)(b^4) + (b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

Ответ: $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.