Номер 1023, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1023, страница 199.

Условие.

1023. Представьте в виде произведения:

а) 7а³ + 7b³;
б) 2а⁴ − 2b⁴;
в) 5а⁴ + 5b⁴;

г) 2,5а⁶ − 2,5b⁶;
д) 1,2а⁶ + 1,2b⁶;
е) 3а⁸ − 3b⁸.

Решение 1.

а) 7а³ + 7b³ = 7(a³ + b³) =
= 7(a + b) (a² - ab + b²);

б) 2а⁴ − 2b⁴ = 2(а⁴ − b⁴) =
= 2(a² - b²) (a² + b²) =
= 2(a - b) (a + b) (a² + b²);

в) 5а⁴ + 5b⁴ = 5(a⁴ + b⁴);

г) 2,5а⁶ − 2,5b⁶ = 2,5(a⁶ - b⁶) =
= 2,5(a³ - b³) (a³ + b³) =
= 2,5(a - b) (a² + ab + b²) ×
× (a + b) (a² - ab + b²);

д) 1,2а⁶ + 1,2b⁶ = 1,2(a⁶ + b⁶) =
= 1,2((a²)³ + (b²)³) =
= 1,2(a² + b²) (a⁴ - a²b² + b⁴);

е) 3а⁸ − 3b⁸ = 3(a⁸ - b⁸) =
= 3(a⁴ - b⁴) (a⁴ + b⁴) =
= 3(a² - b²) (a² + b²) (a⁴ + b⁴) =
= 3(a - b) (a + b) (a² + b²) (a⁴ + b⁴).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $7a^3 + 7b^3$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель $7$ за скобки:
$7a^3 + 7b^3 = 7(a^3 + b^3)$.
Теперь применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$.
$7(a^3 + b^3) = 7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

б) Чтобы представить выражение $2a^4 - 2b^4$ в виде произведения, вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$.
$2(a^4 - b^4) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный вид:
$2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.

в) В выражении $5a^4 + 5b^4$ вынесем общий множитель $5$ за скобки:
$5a^4 + 5b^4 = 5(a^4 + b^4)$.
Выражение $a^4 + b^4$ (сумма четвертых степеней) не разлагается на множители с действительными рациональными коэффициентами по стандартным школьным формулам. Таким образом, вынесение общего множителя является в данном случае единственным действием по представлению в виде произведения.
Ответ: $5(a^4 + b^4)$.

г) Чтобы представить выражение $2,5a^6 - 2,5b^6$ в виде произведения, вынесем общий множитель $2,5$ за скобки:
$2,5a^6 - 2,5b^6 = 2,5(a^6 - b^6)$.
Выражение $a^6 - b^6$ можно рассматривать как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
$a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.
Теперь применим формулы разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Следовательно, итоговое выражение:
$2,5(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $2,5(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.

д) В выражении $1,2a^6 + 1,2b^6$ вынесем общий множитель $1,2$ за скобки:
$1,2a^6 + 1,2b^6 = 1,2(a^6 + b^6)$.
Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов $(a^2)^3 + (b^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$.
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2+b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Итоговое произведение:
$1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Ответ: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

е) Чтобы представить выражение $3a^8 - 3b^8$ в виде произведения, вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$3a^8 - 3b^8 = 3(a^8 - b^8)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2$. Применим формулу разности квадратов.
$3(a^8 - b^8) = 3(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.
Множитель $(a^4 - b^4)$ также является разностью квадратов, которую можно разложить дальше: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Получаем: $3(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
И, наконец, множитель $(a^2 - b^2)$ раскладывается как $(a-b)(a+b)$.
Подставляя все вместе, получаем:
$3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Ответ: $3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.