Номер 1024, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1024, страница 199.

Условие.

1024. Докажите, что число, равное разности 111111 − 222, является квадратом натурального числа.

Решение 1.

111 111 - 222 = 111 ⋅ (1001 - 2) =
= 111 ⋅ 999 = 111 ⋅ 111 ⋅ 9 =
= 111² ⋅ 3² = (111 ⋅ 3)² = 333²

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что число, равное разности $111111 - 222$, является квадратом натурального числа, необходимо выполнить преобразования этого выражения.

Представим числа $111111$ и $222$ в виде, удобном для алгебраических манипуляций. Заметим, что оба числа кратны $111$.

Число $111111$ можно записать как: $111111 = 111000 + 111 = 111 \times 1000 + 111 \times 1 = 111 \times (1000 + 1) = 111 \times 1001$.

Число $222$ можно представить как: $222 = 2 \times 111$.

Теперь подставим эти выражения в исходную разность: $111111 - 222 = (111 \times 1001) - (2 \times 111)$.

Вынесем общий множитель $111$ за скобки: $111 \times (1001 - 2) = 111 \times 999$.

Теперь преобразуем полученное произведение. Заметим, что $999 = 9 \times 111$: $111 \times 999 = 111 \times (9 \times 111) = 9 \times 111 \times 111 = 9 \times 111^2$.

Поскольку $9$ является квадратом числа $3$ ($9 = 3^2$), мы можем записать всё выражение как квадрат одного числа, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $9 \times 111^2 = 3^2 \times 111^2 = (3 \times 111)^2$.

Вычислим значение в скобках: $3 \times 111 = 333$.

Таким образом, исходное выражение равно $333^2$: $111111 - 222 = 333^2 = 110889$.

Так как $333$ — это натуральное число, мы доказали, что разность $111111 - 222$ является квадратом натурального числа.

Ответ: Разность $111111 - 222$ равна $110889$, что является квадратом натурального числа $333$ ($333^2 = 110889$), что и требовалось доказать.